知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
$(1)$下列四个命题正确的是__________

$①$线性相关系数$r$越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱

$②$残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

$③$用相关指数${{R}^{2}}$来刻画回归效果，${{R}^{2}}$越小，说明模拟效果越好

$④$实数$a,b$满足${{(\dfrac{1}{2})}^{a}}={{(\dfrac{1}{3})}^{b}}$，则有$a=b$或$0 < b < a$

$(2)$某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区$5$户家庭，得到如下统计数据表：

收入$x/$万元

$8.2$

$8.6$

$10.0$

$11.3$

$11.9$

支出$y/$万元

$6.2$

$7.5$

$8.0$

$8.5$

$9.8$

可得回归直线方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，其中$\hat{b}=0.76$，据此估计，该社区一户年收入为$15$万元家庭的年支出为____．

$(3)$设直线$x=-\dfrac{{{a}^{2}}}{c}$ 与双曲线的两条渐近线交于$A$，$B$两点，左焦点在以$AB$为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．

$(4)$已知函数$f\left( x \right)=4{{{e}}^{x}}(x+1)-k\left( \dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}} \right)$，若$x=-2$是$f\left( x \right)$的唯一的极值点，则实数$k$的取值范围为______．

难度：较难

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2．
$(1)$下列四个命题正确的是__________

$①$线性相关系数$r$越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱

$②$残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

$③$用相关指数${{R}^{2}}$来刻画回归效果，${{R}^{2}}$越小，说明模拟效果越好

$④$实数$a,b$满足${{(\dfrac{1}{2})}^{a}}={{(\dfrac{1}{3})}^{b}}$，则有$a=b$或$0 < b < a$

$(2)$某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区$5$户家庭，得到如下统计数据表：可得回归直线方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，其中$\hat{b}=0.76$，据此估计，该社区一户年收入为$15$万元家庭的年支出为____．

收入$x/$万元

$8.2$

$8.6$

$10.0$

$11.3$

$11.9$

支出$y/$万元

$6.2$

$7.5$

$8.0$

$8.5$

$9.8$

$(3)$设直线$x=-\dfrac{{{a}^{2}}}{c}$ 与双曲线的两条渐近线交于$A$，$B$两点，左焦点在以$AB$为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．

$(4)$已知函数$f\left( x \right)=4{{{e}}^{x}}(x+1)-k\left( \dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}} \right)$，若$x=-2$是$f\left( x \right)$的唯一的极值点，则实数$k$的取值范围为______．

难度：较难

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3．
假设关于某设备的使用年限$x$和所支出的维修费用$y($万元$)$有如下的统计数据，由资料显示$y$对$x$呈线性相关关系．

$x$ $3$ $4$ $5$ $6$

$y$ $2.5$ $3$ $4$ $4.5$

$(1)$请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出$y$关于$x$的线性回归方程$y= \overset{\hat{} }{b}x+ \overset{\hat{} }{a}$．
$(2)$试根据$(1)$求出的线性回归方程，预测使用年限为$10$年时，维修费用是多少？

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4．
假定小麦基本苗数$x$与成熟期有效穗$y$之间存在相关关系，今测得$5$组数据如下：

$x$

$15.0$

$25.58$

$30.0$

$36.6$

$44.4$

$y$

$39.4$

$42.9$

$42.9$

$43.1$

$49.2$

$(1)$以$x$为解释变量，$y$为预报变量，作出散点图；

$(2)$求$y$与$x$之间的线性回归方程，对于基本苗数$56.7$预报其有效穗；

$(3)$计算各组残差，并计算残差平方和；

$(4)$求$R^{2}$，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几．

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5．
某电脑公司有$6$名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：

推销员编号

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

工作年限$x{/}$年

$3$

$5$

$6$

$7$

$9$

推销金额$y{/}$万元

$2$

$3$

$3$

$4$

$5$

$(1)$求年推销金额$y$与工作年限$x$之间的相关系数；
$(2)$求年推销金额$y$关于工作年限$x$的线性回归方程；
$(3)$若第$6$名推销员的工作年限为$11$年，试估计他的年推销金额．
$($参考数据：$\sqrt{1{.}04}{≈}1{.}02$；由检验水平$0{.}01$及$n{-}2{=}3$，查表得$r_{0{.}01}{=}0{.}959{.})$
参考公式：
线性相关系数公式：$r= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}\left({x}_{i}- \overset{¯}{x}\right)\left({y}_{i}- \overset{¯}{y}\right)}{ \sum\limits_{i=1}^{n}{\left({x}_{i}- \overset{¯}{x}\right)}^{2} \sum\limits_{i=1}^{n}{\left({y}_{i}- \overset{¯}{y}\right)}^{2}} $
线性回归方程系数公式：$\hat{y}{=}{bx}{+}a$，其中$b= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}\left({x}_{i}- \overset{¯}{x}\right)\left({y}_{i}- \overset{¯}{y}\right)}{ \sum\limits_{i=1}^{n}{\left({x}_{i}- \overset{¯}{x}\right)}^{2}} $

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6．

如图是某小区$2017$年$1$月至$2018$年$1$月当月在售二手房均价$($单位：万元$/$平方米$($的散点图$($图中月份代码$1—13$分别对应$2017$年$1$月$—2018$年$1$月$)$根据散点图选择$y=a+b\sqrt{x}$和$y=c+d\ln x$两个模型进行拟合，根据数据处理得到两个回归方程分别为$\overset{\wedge }{{y}}\,=0.9369+0.0285\sqrt{x}$和$\overset{\wedge }{{y}}\,=0.9554+0.0306\ln x$，并得到以下一些统计量的值：

	$\overset{\wedge }{{y}}\,=0.9369+0.0285\sqrt{x}$	$\overset{\wedge }{{y}}\,=0.9554+0.0306\ln x$
残差平方和 $\underset{i=1}{\overset{13}{{\sum }}}\,{{({{y}_{i}}-\overset{\wedge }{{{{y}_{i}}}}\,)}^{2}}$	$0.000591$	$0.000164$
总偏差平方和 $\underset{i=1}{\overset{13}{{\sum }}}\,{{({{y}_{i}}-\overset{-}{{{{y}_{i}}}}\,)}^{2}}$	$0.006050$

$($Ⅰ$)$请利用相关指数${{R}^{2}}$判断哪个模型的拟合效果更好；

$($Ⅱ$)$某位购房者拟于$2018$年$6$月份购买这个小区$m(70\leqslant m\leqslant 160)$平方米的二手房$($欲购房为其家庭首套房$) .$若购房时该小区所有住房的房产证均已满$2$年但未满$5$年，请你利用$($Ⅰ$)$中拟合效果更好的模型解决以下问题：

$(ⅰ)$估算该购房者应支付的购房金额$.($购房金额$=$房款$+$税费$;$房屋均价精确到$0.001$万元$/$平方米$)$

$(ⅱ)$若该购房者拟用不超过$100$万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积$($精确到$1$平方米$)$

附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按照房屋的计税价格进行征收$.($计税价格$=$房款$)$征收方式见下表：

契税

$($买方缴纳$)$

首套面积$90$平方米以内$($含$90$平方米$)$为$1\%$；首套面积$90$平方米以上且$144$平方米以内$($含$144$平方米$)$为$1.5\%$；面积$144$平方米以上或非首套为$3\%$

增值税

$($卖方缴纳$)$

房产证未满$2$年或满$2$年且面积在$144$平方米以上$($不含$144$平方米$)$为$5.6\%$；其他情况免征

个人所得税$($卖方缴纳$)$

首套面积$144$平方米以内$($含$144$平方米$)$为$1\%$；面积$144$平方米以上或非首套均为$1.5\%$；房产证满$5$年且是家庭唯一住房的免征

参考数据：$\ln 2\approx 0.69,\ln 3\approx 1.10,\ln 17\approx 2.83,\ln 19\approx 2.94$，

$\sqrt{2}\approx 1.41,\sqrt{3}\approx 1.73,\sqrt{17}\approx 4.12,\sqrt{19}\approx 4.36$

参考公式：相关系数${{R}^{2}}=1-\dfrac{\underset{i=1}{\overset{n}{{\sum }}}\,{{({{y}_{i}}-\overset{\wedge }{{{{y}_{i}}}}\,)}^{2}}}{\underset{i=1}{\overset{n}{{\sum }}}\,{{({{y}_{i}}-\overset{-}{{{{y}_{i}}}}\,)}^{2}}}$

难度：较难

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7．
在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在$S$市的$A$区开设分店$.$为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格$.$记$x$表示在各区开设分店的个数，$y$表示这$x$个分店的年收入之和．

$x$$($个$)$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

$y$$($百万元$)$

$2.5$

$3$

$4$

$4.5$

$6$

$(1)$该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合 $y$与 $x$的关系，求 $y$关于 $x$的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$；
$(2)$假设该公司在$A$区获得的总年利润$z($单位：百万元$)$与 $x$， $y$之间的关系为$z=y-0.05{{x}^{2}}-1.4$，请结合$($Ⅰ$)$中的线性回归方程，估算该公司应在$A$区开设多少个分店时，才能使$A$区平均每个分店的年利润最大？
参考公式：$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{y}=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{b}x+\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{a}$，$\hat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\bar{x}\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}-n{{{\bar{x}}}^{2}}}}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$

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8．

菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水$x($单位：千克$)$清洗该蔬菜$1$千克后，蔬菜上残留的农药$y($单位：微克$)$的统计表：

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$58$	$54$	$39$	$29$	$10$

$(1)$在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量$x$与$y$的相关性；

$(2)$若用解析式$\hat{y}=c{{x}^{2}}+d$作为蔬菜农药残量$\hat{y}$与用水量$x$的回归方程，令$ω=x^{2}$，计算平均值$\overline{\omega }$和$\overline{y}$，完成以下表格$($填在答题卡中$)$，求出$\hat{y}$与$x$的回归方程$.(c,d$精确到$0.1)$

$ω$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$
$y$	$58$	$54$	$39$	$29$	$10$
${{\omega }_{i}}-\overline{\omega }$
${{y}_{i}}-\overline{y}$

$(3)$对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于$20$微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？

$($精确到$0.1$，参考数据$\sqrt{5}\approx 2.236)($附：线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$中系数计算公式分别为：$\hat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-\overline{x})({{y}_{i}}-\overline{y})}}{{{({{x}_{i}}-\overline{x})}^{2}}}$，$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}.)$

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9．
某种产品的广告费用支出$x$与销售额$y$之间有如下的对应数据：

$(1)$画出散点图；并说明销售额$y$与广告费用支出$x$之间是正相关还是负相关？

$(2)$请根据上表提供的数据，求回归直线方程$\overset{\wedge }{{y}}\,=\overset{\wedge }{{b}}\,x+a$；

$(3)$据此估计广告费用为$10$时，销售收入$y$的值。

$($参考公式：$b= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}\left({x}_{i}- \overset{¯}{x}\right)\left({y}_{1}- \overset{¯}{y}\right)}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}\left({x}_{i}- \overset{¯}{x}\right)}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n \overset{¯}{xy}}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{ \overset{¯}{x}}^{2}},a= \overset{¯}{y}-b \overset{¯}{x} )$。

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10．

第$31$届夏季奥林匹克运动会于$2016$年$8$月$5$日至$8$月$21$日在巴西里约热内卢举行$.$下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据$($单位：枚$)$．

第$30$届

伦敦

第$29$届

北京

第$28$届

雅典

第$27$届

悉尼

第$26$届

亚特兰大

中国

$38$

$51$

$32$

$28$

$16$

俄罗斯

$24$

$23$

$27$

$32$

$26$

$(1)$根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图；

$(2)$下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和$y$$($从第$26$届算起，不包括之前已获得的金牌数$)$随时间$x$变化的数据：

作出散点图如下：

由图可以看出，金牌数之和$y$与时间$x$之间存在线性相关关系，请求出$y$关于$x$的线性回归方程；并预测到第$32$届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？

参考数据：$\overline{x}=28$，$\overline{y}=85.6$，$ \sum\limits_{i=1}^{n}\left({x}_{i}- \bar{x}\right)\left({y}_{i}- \bar{y}\right)=381, \sum\limits_{i=1}^{n}{\left({x}_{i}- \bar{x}\right)}^{2}=10 $

附：对于一组数据$($$x$${\,\!}_{1}$，$y$${\,\!}_{1})$，$($$x$${\,\!}_{2}$，$y$${\,\!}_{2})$，$…$，$($$x_{n}$，$y_{n}$$)$，其回归直线$\hat{y}=\hat{b}$$x$$+\hat{a}$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

$ \overset{\}{b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}\left({x}_{i}- \bar{x}\right)\left({y}_{i}- \bar{y}\right)}{ \sum\limits_{i=1}^{n}{\left({x}_{i}- \bar{x}\right)}^{2}}, \overset{\}{a}= \bar{y}- \overset{\}{b} \bar{x} $

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收入\(x/\)万元	\(8.2\)	\(8.6\)	\(10.0\)	\(11.3\)	\(11.9\)
支出\(y/\)万元	\(6.2\)	\(7.5\)	\(8.0\)	\(8.5\)	\(9.8\)

收入\(x/\)万元	\(8.2\)	\(8.6\)	\(10.0\)	\(11.3\)	\(11.9\)
支出\(y/\)万元	\(6.2\)	\(7.5\)	\(8.0\)	\(8.5\)	\(9.8\)

\(x\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(y\)	\(2.5\)	\(3\)	\(4\)	\(4.5\)

\(x\)	\(15.0\)	\(25.58\)	\(30.0\)	\(36.6\)	\(44.4\)
\(y\)	\(39.4\)	\(42.9\)	\(42.9\)	\(43.1\)	\(49.2\)

推销员编号	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
工作年限\(x{/}\)年	\(3\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(9\)
推销金额\(y{/}\)万元	\(2\)	\(3\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)

	\(\overset{\wedge }{{y}}\,=0.9369+0.0285\sqrt{x}\)	\(\overset{\wedge }{{y}}\,=0.9554+0.0306\ln x\)
残差平方和 \(\underset{i=1}{\overset{13}{{\sum }}}\,{{({{y}_{i}}-\overset{\wedge }{{{{y}_{i}}}}\,)}^{2}}\)	\(0.000591\)	\(0.000164\)
总偏差平方和 \(\underset{i=1}{\overset{13}{{\sum }}}\,{{({{y}_{i}}-\overset{-}{{{{y}_{i}}}}\,)}^{2}}\)	\(0.006050\)

\(x\)\((\)个\()\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(y\)\((\)百万元\()\)	\(2.5\)	\(3\)	\(4\)	\(4.5\)	\(6\)

\(ω\)	\(1\)	\(4\)	\(9\)	\(16\)	\(25\)
\(y\)	\(58\)	\(54\)	\(39\)	\(29\)	\(10\)
\({{\omega }_{i}}-\overline{\omega }\)
\({{y}_{i}}-\overline{y}\)