知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离$x($单位：千米$)$和火灾所造成的损失数额$y($单位：千元$)$有如下的统计资料：如果统计资料表明$y$与$x$有线性相关关系，试求：

距消防站距离$x($千米$)$

$1.8$

$2.6$

$3.1$

$4.3$

$5.5$

$6.1$

火灾损失费用$y($千元$)$

$17.8$

$6$

$27.5$

$31.3$

$36.0$

$43.2$

$($Ⅰ$)$求相关系数$r($精确到$0.01)$；

$($Ⅱ$)$求线性回归方程$($精确到$0.01)$；
$(III)$若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距$10.0$千米，评估一下火灾的损失$($精确到$0.01)$．
参考数据：$\sum\limits_{1}^{6}{{{y}_{i}}}=175.4$，$\sum\limits_{1}^{6}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}=764.36$，$\sum\limits_{i=1}^{6}{({{x}_{i}}-\bar{x}})({{y}_{i}}-\bar{y})=80.30$，$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}=14.30$，$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{y}_{i}}-\bar{y})}^{2}}}\approx 471.65$，$\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{y}_{i}}-\bar{y})}^{2}}}}\approx 82.13$
参考公式：相关系数 $r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-\bar{x})({{y}_{i}}-\bar{y})}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{y}_{i}}-\bar{y})}^{2}}}}}$，

回归方程$\overset{∧}{y}= \overset{∧}{a}+ \overset{∧}{b}t $ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\hat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{x}_{i}}-\bar{x})({{y}_{i}}-\bar{y})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}}}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}x$

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2．

如图是某小区$2017$年$1$月至$2018$年$1$月当月在售二手房均价$($单位：万元$/$平方米$($的散点图$($图中月份代码$1—13$分别对应$2017$年$1$月$—2018$年$1$月$)$根据散点图选择$y=a+b\sqrt{x}$和$y=c+d\ln x$两个模型进行拟合，根据数据处理得到两个回归方程分别为$\overset{\wedge }{{y}}\,=0.9369+0.0285\sqrt{x}$和$\overset{\wedge }{{y}}\,=0.9554+0.0306\ln x$，并得到以下一些统计量的值：

	$\overset{\wedge }{{y}}\,=0.9369+0.0285\sqrt{x}$	$\overset{\wedge }{{y}}\,=0.9554+0.0306\ln x$
残差平方和 $\underset{i=1}{\overset{13}{{\sum }}}\,{{({{y}_{i}}-\overset{\wedge }{{{{y}_{i}}}}\,)}^{2}}$	$0.000591$	$0.000164$
总偏差平方和 $\underset{i=1}{\overset{13}{{\sum }}}\,{{({{y}_{i}}-\overset{-}{{{{y}_{i}}}}\,)}^{2}}$	$0.006050$

$($Ⅰ$)$请利用相关指数${{R}^{2}}$判断哪个模型的拟合效果更好；

$($Ⅱ$)$某位购房者拟于$2018$年$6$月份购买这个小区$m(70\leqslant m\leqslant 160)$平方米的二手房$($欲购房为其家庭首套房$) .$若购房时该小区所有住房的房产证均已满$2$年但未满$5$年，请你利用$($Ⅰ$)$中拟合效果更好的模型解决以下问题：

$(ⅰ)$估算该购房者应支付的购房金额$.($购房金额$=$房款$+$税费$;$房屋均价精确到$0.001$万元$/$平方米$)$

$(ⅱ)$若该购房者拟用不超过$100$万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积$($精确到$1$平方米$)$

附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按照房屋的计税价格进行征收$.($计税价格$=$房款$)$征收方式见下表：

契税

$($买方缴纳$)$

首套面积$90$平方米以内$($含$90$平方米$)$为$1\%$；首套面积$90$平方米以上且$144$平方米以内$($含$144$平方米$)$为$1.5\%$；面积$144$平方米以上或非首套为$3\%$

增值税

$($卖方缴纳$)$

房产证未满$2$年或满$2$年且面积在$144$平方米以上$($不含$144$平方米$)$为$5.6\%$；其他情况免征

个人所得税$($卖方缴纳$)$

首套面积$144$平方米以内$($含$144$平方米$)$为$1\%$；面积$144$平方米以上或非首套均为$1.5\%$；房产证满$5$年且是家庭唯一住房的免征

参考数据：$\ln 2\approx 0.69,\ln 3\approx 1.10,\ln 17\approx 2.83,\ln 19\approx 2.94$，

$\sqrt{2}\approx 1.41,\sqrt{3}\approx 1.73,\sqrt{17}\approx 4.12,\sqrt{19}\approx 4.36$

参考公式：相关系数${{R}^{2}}=1-\dfrac{\underset{i=1}{\overset{n}{{\sum }}}\,{{({{y}_{i}}-\overset{\wedge }{{{{y}_{i}}}}\,)}^{2}}}{\underset{i=1}{\overset{n}{{\sum }}}\,{{({{y}_{i}}-\overset{-}{{{{y}_{i}}}}\,)}^{2}}}$

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3．
随着高等级公路的迅速发展，公路绿化受到高度重视，需要大量各种苗木$.$某苗圃培植场对$100$棵“天竺桂”的移栽成活量$y($单位：棵$)$与在前三个月内浇水次数$x$间的关系进行研究，根据以往的记录，整理相关的数据信息如图所示：

$(1)$结合图中前$4$个矩形提供的数据，利用最小二乘法求$y$关于$x$的回归直线方程；

$(2)$用$\hat{y_{i}}$表示$(1)$中所求的回归直线方程得到的$100$棵“天竺桂”的移栽成活量的估计值，当图中余下的矩形对应的数据组$\left({x}_{i},{y}_{i}\right) $的残差的绝对值$\left| y_{i}{-}\hat{y_{i}} \right|{\leqslant }5$，则回归直线方程有参考价值，试问：$(1)$中所得到的回归直线方程有参考价值吗？

$(3)$预测$100$棵“天竺桂”移栽后全部成活时，在前三个月内浇水的最佳次数．

附：回归直线方程为$\hat {y}=\hat {b}x+\hat {a} $，其中$\hat {b}= \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{n}\left({x}_{i}- \bar{x}\right)\left({y}_{i}- \bar{y}\right)}{ \sum\limits_{i=1}^{n}{\left({x}_{i}- \bar{x}\right)}^{2}}= \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{ \bar{x}}^{2}} $，$\bar{a}= \bar{y}-\hat {b} \bar{x} $．

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4．

某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数$x$与烧开一壶水所用时间$y$的一组数据，且作了一定的数据处理$($如下表$)$，得到了散点图$($如下图$)$．

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$\underset{i=1}{\overset{10}{\sum}}\,{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}$	$\underset{i=1}{\overset{10}{\sum}}\,{{({{w}_{i}}-\bar{w})}^{2}}$	$\underset{i=1}{\overset{10}{\sum}}\,({{x}_{i}}-\bar{x})({{y}_{i}}-\bar{y})$	$\underset{i=1}{\overset{10}{\sum}}\,({{w}_{i}}-\bar{w})({{y}_{i}}-\bar{y})$
$1.47$	$20.6$	$0.78$	$2.35$	$0.81$	$−19.3$	$16.2$

表中${{w}_{i}}=\dfrac{1}{x_{i}^{2}},\bar{w}=\dfrac{1}{10}\underset{i=1}{\overset{10}{\sum}}\,{{w}_{i}}$．

$($Ⅰ$)$根据散点图判断，$y=a+bx$与$y=c+\dfrac{d}{{{x}^{2}}}$哪一个更适宜作烧水时间$y$关于开关旋钮旋转的弧度数$x$的回归方程类型$?($不必说明理由$)$

$($Ⅱ$)$根据判断结果和表中数据，建立$y$关于$x$的回归方程；

$(III)$若单位时间内煤气输出量$t$与旋转的弧度数$x$成正比，那么，利用第$($Ⅱ$)$问求得的回归方程知$x$为多少时，烧开一壶水最省煤气$?$

附：对于一组数据$({{u}_{1}},{{v}_{1}}),({{u}_{2}},{{v}_{2}}),({{u}_{3}},{{v}_{3}}),\cdot \cdot \cdot ,({{u}_{n}},{{v}_{n}})$，其回归直线$\hat{v}=\hat{\alpha }+\hat{\beta }u$的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为$\hat{\beta }=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{({{v}_{i}}-\bar{v})({{u}_{i}}-\bar{u})}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{u}_{i}}-\bar{u})}^{2}}}},\hat{\alpha }=\bar{v}-\hat{\beta }\bar{u}$

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5．

适逢暑假，小王在某小区调查了$50$户居民由于洪灾造成的经济损失，将收集的数据分成$[0,2000]$，$(2000,4000]$，$(4000,6000]$，$(6000,8000]$，$(8000,10000]$五组，并作出频率分布直方图$($如图$)$．
$($Ⅰ$)$小王向班级同学发出为该小区居民捐款的倡议$.$若先从损失超过$6000$元的居民中随机抽出$2$户进行捐款援助，求这$2$户不在同一分组的概率；
$($Ⅱ$)$洪灾过后小区居委会号召小区居民为洪灾重灾区捐款，小王调查的$50$户居民的捐款情况如表，在表格空白处填写正确的数字，并说明是否有$95\%$以上的把握认为捐款数额多于或少于$500$元和自身经济损失是否到$4000$元有关？

	经济损失不超过$4000$元	经济损失超过$4000$元	合计
捐款超过$500$元	$30$	______	______
捐款不超过$500$元	______	$6$	______
合计	______	______	______

$P(K^{2}\geqslant k_{0})$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k_{0}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

参考公式：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}($其中$n=a+b+c+d$为样本容量$)$．

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6．
假设关于某设备的使用年限$x$和所支出的维修费用$y$$($万元$)$有如下的统计资料：

使用年限$x$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

维修费用$y$

$2.2$

$3.8$

$5.5$

$6.5$

$7.0$

若由资料知$y$对$x$呈线性相关关系。$($系数公式$ \overset{\}{b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n \bar{x}· \bar{y}}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n·{ \bar{x}}^{2}}, \overset{\}{a}= \bar{y}- \overset{\}{b} \bar{x} $ $)$

$($Ⅰ$)$请根据最小二乘法求出线性回归方程$ \overset{\}{y}= \overset{\}{b}x+ \overset{\}{a} $的回归系数$ \overset{\}{a}, \overset{\}{b} $；

$($Ⅱ$)$估计使用年限为$10$年时，维修费用是多少？

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7．
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：

$(1)$在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

$(2)$求出$y$关于$x$的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}$$x$$+\hat{a}$，并在坐标系中画出回归直线；

$(3)$试预测加工$10$个零件需要多少时间？

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8．
下图是我国$2008$年至$2014$年生活垃圾无害化处理量$($单位：亿吨$)$的折线图

$(1)$由折线图看出，可用线性回归模型拟合$y$与$t$的关系，请用相关系数$r$加以说明；

$(2)$建立$y$关于$t$的回归方程$($系数精确到$0.01)$，预测$2016$年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：参考数据：$\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{t}_{i}}-\overline{t} \right)\left( {{y}_{i}}-\overline{y} \right)}{=}2.89$，$\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{7}{{{\left( {{y}_{i}}-\overline{y} \right)}^{2}}}}=0.55$，$\sqrt{7}\approx 2.646$．

参考公式：回归方程$\widehat{y}=\widehat{a}+\widehat{b}t$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\widehat{a}{=}\overline{y}-\widehat{b}\overline{t}$，

$\widehat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{t}_{i}}-\overline{t} \right)\left( {{y}_{i}}-\overline{y} \right)}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{t}_{i}}-\overline{t} \right)}^{2}}}}$ ；相关系数$r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( {{t}_{i}}-\overline{t} \right)\left( {{y}_{i}}-\overline{y} \right)}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{t}_{i}}-\overline{t} \right)}^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{y}_{i}}-\overline{y} \right)}^{2}}}}}}$．

难度：较难

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9．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份 $2002$ $2004$ $2006$ $2008$ $2010$

需求量$($万吨$)$ $236$ $246$ $257$ $276$ $286$

$($Ⅰ$)$利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程$ ∧y=bx+a$；
$($Ⅱ$)$利用$($Ⅰ$)$中所求的直线方程预测该地$2012$年的粮食需求量．

难度：较难

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10．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份 2002 2004 2006 2008 2010
需求量（万吨） 236 246 257 276 286
（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 $%20%E2%88%A7y$ =bx+a；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．

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距消防站距离\(x(\)千米\()\)	\(1.8\)	\(2.6\)	\(3.1\)	\(4.3\)	\(5.5\)	\(6.1\)
火灾损失费用\(y(\)千元\()\)	\(17.8\)	\(6\)	\(27.5\)	\(31.3\)	\(36.0\)	\(43.2\)

	\(\overset{\wedge }{{y}}\,=0.9369+0.0285\sqrt{x}\)	\(\overset{\wedge }{{y}}\,=0.9554+0.0306\ln x\)
残差平方和 \(\underset{i=1}{\overset{13}{{\sum }}}\,{{({{y}_{i}}-\overset{\wedge }{{{{y}_{i}}}}\,)}^{2}}\)	\(0.000591\)	\(0.000164\)
总偏差平方和 \(\underset{i=1}{\overset{13}{{\sum }}}\,{{({{y}_{i}}-\overset{-}{{{{y}_{i}}}}\,)}^{2}}\)	\(0.006050\)

\(\bar{x}\)	\(\bar{y}\)	\(\bar{w}\)	\(\underset{i=1}{\overset{10}{\sum}}\,{{({{x}_{i}}-\bar{x})}^{2}}\)	\(\underset{i=1}{\overset{10}{\sum}}\,{{({{w}_{i}}-\bar{w})}^{2}}\)	\(\underset{i=1}{\overset{10}{\sum}}\,({{x}_{i}}-\bar{x})({{y}_{i}}-\bar{y})\)	\(\underset{i=1}{\overset{10}{\sum}}\,({{w}_{i}}-\bar{w})({{y}_{i}}-\bar{y})\)
\(1.47\)	\(20.6\)	\(0.78\)	\(2.35\)	\(0.81\)	\(−19.3\)	\(16.2\)

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

使用年限\(x\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
维修费用\(y\)	\(2.2\)	\(3.8\)	\(5.5\)	\(6.5\)	\(7.0\)

	经济损失不超过\(4000\)元	经济损失超过\(4000\)元	合计
捐款超过\(500\)元	\(30\)	______	______
捐款不超过\(500\)元	______	\(6\)	______
合计	______	______	______

年份	\(2002\)	\(2004\)	\(2006\)	\(2008\)	\(2010\)
需求量\((\)万吨\()\)	\(236\)	\(246\)	\(257\)	\(276\)	\(286\)

年份	2002	2004	2006	2008	2010
需求量（万吨）	236	246	257	276	286