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          共50条信息

            • 1．

              如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，椭圆\(E: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > b > 0\right) \)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，上顶点\(A\)到右焦点的距离为\(\sqrt{2}.\)过点\(D(0,m)(m\neq 0)\)作不垂直于\(x\)轴，\(y\)轴的直线\(l\)交椭圆\(E\)于\(P\)，\(Q\)两点，\(C\)为线段\(PQ\)的中点，且\(AC⊥OC\)．

              \((1)\)求椭圆\(E\)的方程；

              \((2)\)求实数\(m\)的取值范围；

              \((3)\)延长\(AC\)交椭圆\(E\)于点\(B\)，记\(\triangle AOB\)与\(\triangle AOC\)的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，若\(\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{8}{3}\)，求直线\(l\)的芳程．

              难度：较难
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            • 2．

              已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{\begin{smallmatrix} \\ 2 \end{smallmatrix}}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别为椭圆的左、右焦点，\(P\)点为椭圆上一点，\(\triangle F_{1}PF_{2}\)面积的最大值为\(\sqrt{3}\)．

              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

              \((2)\)过点\(A(4,0)\)作关于\(x\)轴对称的两条不同直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)分别交椭圆于与\(M({{x}_{1}},{{y}_{1}})\)与\(N({{x}_{2}},{{y}_{2}})\)，且\({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\)，证明直线\(MN\)过定点．

              难度：较难
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            • 3．

              下列说法的正确的是\((\)   \()\)


              A．经过定点\({P}_{0}({x}_{0},{y}_{0}) \)的直线都可以用方程\(y-{y}_{0}=k(x-{x}_{0}) \)
              B．经过定点\(A(0,b)\)的直线都可以用方程\(y=kx+b\)表示
              C．不经过原点的直线都可以用方程\(\dfrac{x}{a}+ \dfrac{y}{b}=1 \)表示
              D．经过任意两个不同的点\({P}_{1}({x}_{1},{y}_{1}),{P}_{2}({x}_{2},{y}_{2}) \)的直线都可以用方程\((y-{y}_{1})({x}_{2}-{x}_{1})=(x-{x}_{1})({y}_{2}-{y}_{1}) \)表示
              难度：较难
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            • 4．

              已知椭圆\(M\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(\)\(a\)\( > \)\(b\)\( > 0)\)的右焦点\(F\)的坐标为\((1,0)\)，\(P\)，\(Q\)为椭圆上位于\(y\)轴右侧的两个动点，\(PF\)\(⊥\)\(QF\)，\(C\)为\(PQ\)中点，线段\(PQ\)的垂直平分线交\(x\)轴，\(y\)轴于点\(A\)，\(B\)两点\((\)线段\(PQ\)不垂直\(x\)轴\()\)，当\(Q\)运动到椭圆的右顶点时，\(PF\)\(= \dfrac{ \sqrt{2}}{2}\)．


                    \((1)\)求椭圆\(M\)的标准方程；

                    \((2)\)记\(\triangle \)\(ABO\)、\(\triangle \)\(BCF\)的面积分别为\(S\)\({\,\!}_{1}\)，\(S\)\({\,\!}_{2}\)，若\(S\)\({\,\!}_{1}∶\)\(S\)\({\,\!}_{2}=3∶5\)，求直线\(PQ\)的方程．

              难度：较难
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