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          共50条信息

            • 1．
              在平面直角坐标系中，已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1\) \((a > 0,a\neq 1)\)的两个焦点分别是\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，直线\(l\)：\(y=kx+m(k,m∈R)\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点．
              \((1)\)若\(M\)为椭圆短轴上的一个顶点，且\(\triangle MF_{1}F_{2}\)是直角三角形，求\(a\)的值；
              \((2)\)若\(k=1\)，且\(\triangle OAB\)是以\(O\)为直角顶点的直角三角形，求\(a\)与\(m\)满足的关系；
              \((3)\)若\(a=2\)，且\(k_{OA}⋅k_{OB}=- \dfrac {1}{4}\)，求证：\(\triangle OAB\)的面积为定值．
              难度：较难
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            • 2．

              设动圆\(P(\)圆心为\(p)\)经过定点\((0,2)\)，被\(x\)轴截得的弦长为\(4\)，\(P\)的轨迹为曲线\(C\)

              \((1)\)求\(C\)的方程

              \((2)\)设不经过坐标原点\(O\)的直线\(l\)与\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)在以线段\(AB\)为直径的圆上，求证：直线\(l\)经过定点，并求出定点坐标．

              难度：较难
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            • 3．

              设抛物线\(y^{2}=2x\)的焦点为\(F\)，过点\(M(\sqrt{3},0)\)的直线与抛物线相交于\(A\)，\(B\)两点，与抛物线的准线相交于点\(C\)，若\(|BF|=2\)，则\(\triangle BCF\)与\(\triangle ACF\)的面积之比为

              A．\(\dfrac{2}{3}\)
              B．\(\dfrac{4}{5}\)
              C．\(\dfrac{4}{7}\)
              D．\(\dfrac{1}{2}\)
              难度：较难
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            • 4．
              已知椭圆\(C_{1}{：}\dfrac{x^{2}}{a^{2}}{+}\dfrac{y^{2}}{b^{2}}{=}1(a{ > }b{ > }0)\)的右顶点与抛物线\(C_{2}{：}y^{2}{=}2px(p{ > }0)\)的焦点重合，椭圆\(C_{1}\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，过椭圆\(C_{1}\)的右焦点\(F\)且垂直于\(x\)轴的直线截抛物线所得的弦长为\(4\sqrt{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C_{1}\)和抛物线\(C_{2}\)的方程；
              \((2)\)过点\(A({-}2{,}0)\)的直线\(l\)与\(C_{2}\)交于\(M{,}N\)两点，点\(M\)关于\(x\)轴的对称点为，证明：直线恒过一定点．
              难度：较难
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            • 5．
              已知定直线\(l\)：\(y=x+3\)，定点\(A(2,1)\)，以坐标轴为对称轴的椭圆\(C\)过点\(A\)且与\(l\)相切．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)椭圆的弦\(AP\)，\(AQ\)的中点分别为\(M\)，\(N\)，若\(MN\)平行于\(l\)，则\(OM\)，\(ON\)斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由．
              难度：较难
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            • 6．
              椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)，过右焦点\(F_{2}(c,0)\)垂直于\(x\)轴的直线与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点且\(|AB|= \dfrac {4 \sqrt {3}}{3}\)，又过左焦点\(F_{1}(-c,0)\)任作直线\(l\)交椭圆于点\(M\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程
              \((2)\)椭圆\(C\)上两点\(A\)，\(B\)关于直线\(l\)对称，求\(\triangle AOB\)面积的最大值．
              难度：较难
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            • 7．

              设椭圆\(E:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{1-{{a}^{2}}}\)的焦点在\(x\)轴上．

              \((1)\)若椭圆\(E\)的焦距为\(1\)，求椭圆\(E\)的方程；

              \((2)\)设\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是椭圆\(E\)的左、右焦点，\(P\)是椭圆\(E\)上第一象限内的点，直线\(F_{2}P\)交\(y\)轴于点\(Q\)，并且\(F_{1}P⊥F_{1}Q\)，证明：当\(a\)变化时，点\(P\)在直线\(x+y-1=0\)上．

              难度：较难
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            • 8．

              已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(\)\(a\)\( > \)\(b\)\( > 0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为\(\dfrac{5\sqrt{2}}{3}\)．

              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

              \((2)\)已知动直线\(y\)\(=\)\(k\)\((\)\(x\)\(+1)\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点\(.①\)若线段\(AB\)中点的横坐标为\(-\dfrac{1}{2}\)，求斜率\(k\)的值；\(②\)若点\(M\)\((-\dfrac{7}{3},0)\)，求证：\(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}\)为定值．

              难度：较难
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            • 9．
              曲线的方程为 \(+\) \(=2\)，若直线 \(l\)\(:y=kx+1-2k\)与曲线有公共点，则\(k\)的取值范围是　\((\)　　\()\)
              A．                    
              B．
              C． \(∪[1,+∞)\)  
              D． \(∪(1,+∞)\)
              难度：较难
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            • 10． 已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．
              （1）求证：直线MN必过定点，并写出此定点坐标；
              （2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程．
              难度：较难
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