知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

如图所示，已知椭圆\(E:\dfrac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的长轴长是焦距的\(\sqrt{2}\)倍，短轴右端点为\(A\)，\(M(1,0)\)为线段\(OA\)的中点\((\)\(O\)为坐标原点\()\)．

\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程；

\((\)Ⅱ\()\)过点\(M\)任作一条直线，与椭圆\(E\)相交于\(P,Q\)两点，试问在\(x\)轴上是否存在定点\(N\)，使得\(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}+\lambda (\dfrac{\overrightarrow{NP}}{\left| \overrightarrow{NP} \right|}+\dfrac{\overrightarrow{NQ}}{\left| \overrightarrow{NQ} \right|})(\lambda > 0)\)？若存在，求出点\(N\)的坐标；若不存在，请说明理．

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2．已知直线（1-a）x+（a+1）y-4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数y=x+
1
x
的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是．

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3．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则
3
PA+PB的最大值是．

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4．无论k为何值，直线（k+2）x+（1-k）y-4k-5=0都过一个定点，则定点坐标为．

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5．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0与过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是．

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6．椭圆E：
x2
4
+
y2
3
=1的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点．若直线AB，AC的斜率乘积为定值-
1
4
，则动直线BC恒过定点的坐标为．

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7．设P是直线l：2x+y+9=0上的任一点，过点P作圆x²+y²=9的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则直线AB恒过定点．

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8．已知直线l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0（λ∈R），有下列四个结论：
①直线l经过定点（0，-2）；
②若直线l在x轴和y轴上的截距相等，则λ=1；
③当λ∈[1，4+3
3
]时，直线l的倾斜角θ∈[120°，135°]；
④当λ∈（0，+∞）时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为
8
9
．
其中正确结论的是（填上你认为正确的所有序号）．

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9．已知直线l₁：ax-y+1=0与l₂：x+ay+1=0（a∈R），给出如下结论：
①不论a为何值时，l₁与l₂都互相垂直；
②不论a为何值时，l₁与l₂都关于直线x+y=0对称；
③当a变化时，l₁与l₂分别经过定点A（0，1）和B（-1，0）；
④当a变化时，l₁与l₂的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点）．
其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号都填上）

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