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          共50条信息

            • 1．
              在平面直角坐标系中，已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1\) \((a > 0,a\neq 1)\)的两个焦点分别是\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，直线\(l\)：\(y=kx+m(k,m∈R)\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点．
              \((1)\)若\(M\)为椭圆短轴上的一个顶点，且\(\triangle MF_{1}F_{2}\)是直角三角形，求\(a\)的值；
              \((2)\)若\(k=1\)，且\(\triangle OAB\)是以\(O\)为直角顶点的直角三角形，求\(a\)与\(m\)满足的关系；
              \((3)\)若\(a=2\)，且\(k_{OA}⋅k_{OB}=- \dfrac {1}{4}\)，求证：\(\triangle OAB\)的面积为定值．
              难度：较难
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            • 2．

              已知在平面直角坐标系\(xoy\)中，点\(M(\sqrt{3},0),N(-\sqrt{3},0)\)，动点\(P\)满足直线\(PM\)与\(PN\)的斜率乘积为\(-\dfrac{2}{3}.(1)\)求动点\(P\)的轨迹方程；\((2)\)设动点\(P\)形成的轨迹为\(C\)，\({{F}_{1}}(-1,0),{{F}_{2}}(1,0)\)，连接\(P{{F}_{1}}\)与曲线\(C\)的另一个交点为\(A\)，连接\(P{{F}_{2}}\)与曲线\(C\)的另一交点为\(B\)，设\(\overrightarrow{P{{F}_{1}}}={{\lambda }_{1}}\overrightarrow{{{F}_{1}}A},\overrightarrow{P{{F}_{2}}}={{\lambda }_{2}}\overrightarrow{{{F}_{2}}B},\)证明：\({{\lambda }_{1}}+{{\lambda }_{2}}\)为定值．

              难度：较难
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            • 3．

              如图，在平面直角坐标系\(xoy\)中，椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，直线\(l\)与\(x\)轴交于点\(E\)，与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点\(.\)当直线\(l\)垂直于\(x\)轴且点\(E\)为椭圆\(C\)的右焦点时， 弦\(AB\)的长为\(\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\) ．

              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

              \((2)\)若点\(E\)的坐标为\((\dfrac{\sqrt{3}}{2},0)\)，点\(A\)在第一象限且横坐标为\(\sqrt{3}\)，连结点\(A\)与原点\(O\)的直线交椭圆\(C\)于另一点\(P\)，求\(\Delta PAB\)的面积；

              \((3)\)是否存在点\(E\)，使得\(\dfrac{1}{E{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{E{{B}^{2}}}\)为定值？若存在，请指出点\(E\)的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

              难度：较难
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            • 4．

              已知椭圆\({C}:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(\sqrt{7}x-\sqrt{5}y+12=0\)相切．

              \((1)\)求椭圆\({C}\)的方程；

              \((2)\)设\({A} \left( -4,0 \right)\)，过点\({R}\left( 3,0 \right)\)作与\(x\)轴不重合的直线\(l\)交椭圆\({C}\)于\(P\)，\(Q\)两点，连接\(AP\)，\(AQ\)分别交直线\(x=\dfrac{16}{3}\)于\({M} \)，\({N} \)两点，若直线\({M} {R}\)、\({N} {R}\)的斜率分别为\({{k}_{1}}\)、\({{k}_{2}}\)，试问：\({{k}_{1}}{{k}_{2}}\)是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

              难度：较难
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            • 5．

              如图，已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}{+}\dfrac{y^{2}}{b^{2}}{=}1(a{ > }b{ > }0)\)的离心率是\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，一个顶点是\(B(0{,}1)\)．


              ​
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(P{,}Q\)是椭圆\(C\)上异于点\(B\)的任意两点，且直线\(BP\)，\(BQ\)斜率之积为\(1.\)试问：直线\(PQ\)是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．
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            • 6． 已知椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左右焦点分别为\({{F}_{1}}\)、\({{F}_{2}}\)，短轴两个端点为\(A\)、\(B\)，且四边形\({{F}_{1}}A{{F}_{2}}B\)是边长为\(2\)的正方形．

              \((1)\)求椭圆方程；

              \((2)\)若\(C,D\)分别是椭圆长轴的左右端点，动点\(M\)满足\(MD\bot CD\)，连接\(CM\)，交椭圆于点\(P\)，证明：\(\overrightarrow{OM}\bullet \overrightarrow{OP}\)为定值；

              \((3)\)在\((2)\)的条件下，试问\(x\)轴上是否存在异于点\(C\)的定点\(Q\)，使得以\(MP\)为直径的圆恒过直线\(DP,MQ\)的交点？若存在，求出点\(Q\)的坐标；若不存在，请说明理由．

              难度：较难
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            • 7．

              已知椭圆\(C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > b > 0\right) \)的离心率为\(\dfrac{ \sqrt{3}}{2} \)，点\(A(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2})\)在椭圆\(C\)上．

              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；

              \((\)Ⅱ\()\)设动直线\(l\)与椭圆\(C\)有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点\(O\)为圆心的圆，满足此圆与\(l\)相交两点\({{P}_{1}}\)，\({{P}_{2}}\)\((\)两点均不在坐标轴上\()\)，且使得直线\(O{{P}_{1}}\)，\(O{{P}_{2}}\) 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．

              难度：较难
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            • 8．

              已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}{=}1(\)\(a\)\( > \)\(b\)\( > 0)\)，四点\(P\)\({\,\!}_{1}(1,1)\)，\(P\)\({\,\!}_{2}(0,1)\)，\(P\)\({\,\!}_{3}(–1,\dfrac{\sqrt{3}}{2})\)，\(P\)\({\,\!}_{4}(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2})\)中恰有三点在椭圆\(C\)上\(.\)

              \((1)\)求\(C\)的方程；

              \((2)\)设直线\(l\)不经过\(P\)\({\,\!}_{2}\)点且与\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点\(.\)若直线\(P\)\({\,\!}_{2}\)\(A\)与直线\(P\)\({\,\!}_{2}\)\(B\)的斜率的和为\(–1\)，证明：\(l\)过定点．

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            • 9．

              在平面直角坐标系\(xOy\)中，设椭圆\(C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，离心率为\(e.\)直线\(l:y=ex+a\)与\(x\)轴、\(y\)轴分别交于点\(A\)，\(B\)，\(M\)是直线\(l\)与椭圆\(C\)的一个公共点，点\(P\)是点\(F_{1}\)关于直线\(l\)的对称点，\(\overrightarrow{{AM}}=λ\overrightarrow{{AB}}\)．

              \((1)\) 求证：\(λ=1-e^{2};\)

              \((2)\) 若\(λ=\dfrac{3}{4}\)，\(\triangle MF_{1}F_{2}\)的周长为\(6\)，求\(a\)，\(b\)的值\(;\)

              \((3)\) 确定\(λ\)的值，使得\(\triangle PF_{1}F_{2}\)是等腰三角形．

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            • 10． 在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程是\(\begin{cases} x=2+t\cos α \\ y=t\sin α \end{cases}(t\)为参数\()\)，以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ^{2}\cos ^{2}θ+2ρ^{2}\sin ^{2}θ=12\)，且直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点．

              \((1)\)求曲线\(C\)的直角坐标方程及直线\(l\)恒过的定点\(A\)的坐标；

              \((2)\)在\((1)\)的条件下，若\(|AP||AQ|=6\)，求直线\(l\)的普通方程．

              难度：较难
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