已知椭圆\(C:\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1\)的左、右顶点分别为\(A\)，\(B\)，\(F\)为椭圆\(C\)的右焦点\(.\)圆\(x^{2}+y^{2}=4\)上有一动点\(P\)，\(P\)不同\(A\)，\(B\)两点，直线\(PA\)与椭圆\(C\)交于点\(Q(\)异于点\(A)\)，若直线\(QF\)的斜率存在，则\(\dfrac{k_{{PB}}}{k_{{QF}}}\)的取值范围是____\(.\) 

在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程是\(\begin{cases} x=2+t\cos \alpha \\ y=t\sin \alpha \\ \end{cases}(t\)为参数\()\)，以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\({{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta +2{{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\theta =12\)，且直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(P,Q\)两点\(.\)曲线\(C\)的普通方程为_______\(.\)在\((1)\)的条件下，若\(\left| AP \right|\left| AQ \right|=6\)，直线\(l\)的普通方程为_______．

\((1)\)椭圆\( \dfrac{x^{2}}{9}+ \dfrac{y^{2}}{2}=1\)的焦点为\(F\)\({\,\!}_{1}\)，\(F\)\({\,\!}_{2}\)，点\(P\)在椭圆上，若\(|\)\(PF\)\({\,\!}_{1}|=4\)，则\(∠\)\(F\)\({\,\!}_{1}\)\(PF\)\({\,\!}_{2}\)的大小为__________．

\((2)\)如果椭圆\( \dfrac{{x}^{2}}{36}+ \dfrac{{y}^{2}}{9}=1 \)的弦被点\((4,2)\)平分，则这条弦所在的直线方程                     

\((3)\)在正方体\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)中，\(M\)、\(N\)分别是\(CD\)、\(C{{C}_{1}}\)的中点，则异面直线\({{A}_{1}}M\)与\(DN\)所成角的大小是____________。                                                          

\((4)\)已知\(A\;\;,\;\;B\;,\;\;C \)三点不共线，\(O\)为平面\(ABC\)外一点，若由向量\(\overrightarrow{OP}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\lambda \overrightarrow{OC}\)确定的点\(P\)与\(A\;\;,\;\;B\;,\;\;C \)共面，那么\(\lambda =\) ．

若直线\(y=kx+1(k∈R)\)与焦点在\(x\)轴上的椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{5}+\dfrac{{{y}^{2}}}{t}=1\)恒有公共点，则\(t\)的取值范围是             ．

已知直线\(MN\)过椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+{{y}^{2}}=1\) 的左焦点\({{F}_{1}}\) 与椭圆交于\(M\)，\(N\)两点，直线\(PQ\)过原点\(O\)与\(MN\)平行，且\(PQ\)与椭圆交于\(P\)，\(Q\)两点，则\(\dfrac{{{\left| PQ \right|}^{2}}}{\left| MN \right|}=\)                ．

\((1)\)设\(x=2\)是函数\(f(x)=ax+ \dfrac{1}{x} \)的一个极值点，则实数\(a\)的值为       ．

\((2)\)若圆\(x^{2}+y^{2}=4\)与圆\(x^{2}+y^{2}+2ay-6=0(a > 0)\)的公共弦长为\(2 \sqrt{3} \)，则\(a=\)        ．

\((3)\)若函数\(f(x)={x}^{2}- \dfrac{1}{2}\ln x+1 \)在其定义域内的一个子区间\((a-1,a+1)\)内存在极值，则实数\(a\)的取值范围为       ．

\((4)\)已知椭圆\(C\)的方程为\( \dfrac{{x}^{2}}{4}+ \dfrac{{y}^{2}}{3}=1 \)，\(A\)，\(B\)为椭圆\(C\)的左、右顶点，\(P\)为椭圆\(C\)上不同于\(A\)，\(B\)的动点，直线\(x=4\)与直线\(PA\)，\(PB\)分别交于\(M\)，\(N\)两点，若\(D(7,0)\)，则过\(D\)，\(M\)，\(N\)三点的圆必过\(x\)轴上不同于点\(D\)的定点，其坐标为         ．

已知以\(F(-2,0)\)，\(F_{2}(2,0)\)为焦点的椭圆与直线\(x+ \sqrt{3}y+4=0 \)有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________。