已知椭圆\(E\)的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过\(A(-2,0)\)，\(B(2,0)\)，\(C(1,\dfrac{3}{2})\)三点．

\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；

\((2)\)若点\(D\)为椭圆\(E\)上不同于\(A\)，\(B\)的任意一点，\(F(-1,0)\)，\(H(1,0)\)，当\(\triangle DFH\)内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；

\((3)\)若直线\(l\)：\(y=k(x-1)(k\neq 0)\)与椭圆\(E\)交于\(M\)，\(N\)两点，证明直线\(AM\)与直线\(BN\)的交点在直线\(x=4\)上．

如图，设椭圆\({{C}_{1}}:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)长轴的右端点与抛物线\({{C}_{2}}:{{y}^{2}}=8x\)的焦点\(F\)重合，且椭圆\(C_{1}\)的离心率是\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)．

    \((1)\)求椭圆\(C_{1}\)的标准方程；

    \((2)\)过\(F\)作直线\(l\)交抛物线\(C_{2}\)于\(A\)，\(B\)两点，过\(F\)且与直线\(l\)垂直的直线交椭圆\(C_{1}\)于另一点\(C\)，求\(\triangle ABC\)面积的最小值，以及取到最小值时直线\(l\)的方程．

设\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左右焦点，\(M\)是\(C\)上一点且\(MF_{2}\)与\(x\)轴垂直，直线\(MF_{1}\)与\(C\)的另一个交点为\(N\)．

\((1)\)若直线\(MN\)的斜率为\(\dfrac{3}{4}\)，求\(C\)的离心率；

\((2)\)若直线\(MN\)在\(y\)轴上的截距为\(2\)，且\(|MN|=5|F_{1}N|\)，求\(a\)，\(b\)．

\((3)\)在第\((2)\)问的条件下，设动点\(P\)在椭圆的第一象限，若直线\(F_{2}P\)的斜率大于\(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)，求直线\(OP(O\)为原点\()\)的斜率的取值范围．

已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(\)\(a\)\( > \)\(b\)\( > 0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，长轴长等于圆\(R\)：\(x\)\({\,\!}^{2}+(\)\(y\)\(-2)^{2}=4\)的直径，过点\(P\)\((0,1)\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于两点\(A\)，\(B\)\(.\)与圆\(R\)交于两点\(M\)，\(N\)．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程

\((2)\)求证：直线\(R\)\(A\)，\(R\)\(B\)的斜率之和等于零；

\((3)\)求\(｜\)\(AB\)\(｜·｜\)\(MN\)\(｜\)的取值范围．

设椭圆\(E:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{1-{{a}^{2}}}\)的焦点在\(x\)轴上．

\((1)\)若椭圆\(E\)的焦距为\(1\)，求椭圆\(E\)的方程；

\((2)\)设\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是椭圆\(E\)的左、右焦点，\(P\)是椭圆\(E\)上第一象限内的点，直线\(F_{2}P\)交\(y\)轴于点\(Q\)，并且\(F_{1}P⊥F_{1}Q\)，证明：当\(a\)变化时，点\(P\)在直线\(x+y-1=0\)上．