知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，左、右焦点分别为F₁、F₂，点 $P%282%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ，点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

难度：较难

解析收藏试题篮
2．已知椭圆 $C_%7B1%7D%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上，且满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BQR%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BRS%7D%3D0$ ，求 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BQS%7D%7C$ 的取值范围．

难度：较难

解析收藏试题篮
3．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，短轴长为4．椭圆与直线y=x+2相交于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求弦长|AB|

难度：较难

解析收藏试题篮
4．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，点（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x²+y²=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证：OP⊥OQ．

难度：较难

解析收藏试题篮
5．如图，已知直线l：x=my+1过椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ 的右焦点F，抛物线： $x%5E%7B2%7D%3D4%20%5Csqrt%20%7B3%7Dy$ 的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BMA%7D%3D%CE%BB_%7B1%7D%20%5Coverrightarrow%20%7BAF%7D%EF%BC%8C%20%5Coverrightarrow%20%7BMB%7D%3D%CE%BB_%7B2%7D%20%5Coverrightarrow%20%7BBF%7D$ ，当m变化时，探求λ₁+λ₂的值是否为定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点 $N%28%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D%EF%BC%8C0%29$ ．

难度：较难

解析收藏试题篮
6．以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，| $%20%5Coverrightarrow%20%7BPA%7D$ |-| $%20%5Coverrightarrow%20%7BPB%7D$ |=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ （ $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ），则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D$ =1与椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B35%7D$ +y²=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为 ______ （写出所有真命题的序号）

难度：较难

解析收藏试题篮

7．已知椭圆的两个焦点是（-3，0），（3，0），且点（0，2）在椭圆上，则椭圆的标准方程是（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B13%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D1$

B． $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D1$

C． $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B13%7D%3D1$

D． $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B13%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D1$

难度：较难

解析收藏试题篮

8．已知F₁、F₂是椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ （a＞b＞0）的左、右焦点，点P $%28-1%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ 在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPM%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BMF_%7B2%7D%7D$ ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过F₂作不与x轴重合的直线l，l与圆x²+y²=a²+b²相交于A、B并与椭圆相交于C、D，当 $%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DB%7D$ =λ，且λ∈ $%5B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D%EF%BC%8C1%5D$ 时，求△F₁CD的面积S的取值范围．

难度：较难

解析收藏试题篮