知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知双曲线\(\dfrac{{{y}^{2}}}{4}-{{x}^{2}}=1\)的两条渐近线分别与抛物线\({{y}^{2}}=2px(p > 0)\)的准线交于\(A,B\)两点，\(O\)为坐标原点\(.\)若\(\Delta OAB\)的面积为\(1\)，则\(p\)的值为．

难度：较难

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2．

已知点\(P\)是抛物线\(C\)：\(y^{2}=x\)上的定点\((P\)位于第一象限\()\)，动直线\(l\)：\(y=- \dfrac{ \sqrt{3}}{6}x+m(m < 0)\)与抛物线\(C\)相交于不同的两点\(A\)，\(B\)，若对任意的\(m∈(-∞,0)\)，直线\(PA\)，\(PB\)的倾斜角总是互补，则点\(P\)的坐标是________．

难度：较难

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3．

\((1)\)设不等式组\(\begin{cases}\begin{matrix}x\geqslant 0 \\ x+2y\geqslant 4\end{matrix} \\ 2x+y\leqslant 4\end{cases} \)所表示的平面区域为\(D\)，则可行域\(D\)的面积为________．

\((2)\)已知\(\tan β= \dfrac{4}{3} \)，\(\sin \left(α+β\right)= \dfrac{5}{13} \)，其中\(α\)，\(β∈(0,π)\)，则\(\sin α\)的值为________．

\((3)\)已知函数\(f\left(x\right)=\left|{\log }_{3}x\right| \)，实数\(m\)，\(n\)满足\(0 < m < n\)，且\(f\left(m\right)=f\left(n\right) \)，若\(f(x)\)在\([m^{2},n]\)上的最大值为\(2\)，则\(\dfrac{n}{m}=\)________．

\((4)\)过抛物线\({{y}^{2}}=4x\)的焦点的一条直线交抛物线与\(A\)、\(B\)两点，正三角形\(ABC\)的顶点\(C\)在抛物线的准线上，则\(\triangle ABC\)的边长为________．

难度：较难

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4．
设椭圆\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0) \)的左焦点为\(F\)，右顶点为\(A\)，离心率为\( \dfrac{1}{2} .\)已知\(A\)是抛物线\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点，\(F\)到抛物线的准线\(l\)的距离为\( \dfrac{1}{2} \)．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程和抛物线的方程；
\((\)Ⅱ\()\)设\(l\)上两点\(P\)，\(Q\)关于\(x\)轴对称，直线\(AP\)与椭圆相交于点\(B(B\)异于\(A)\)，直线\(BQ\)与\(x\)轴相交于点\(D.\)若\(\triangle APD\)的面积为\( \dfrac{ \sqrt{6}}{2} \)，求直线\(AP\)的方程．

难度：较难

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5．

已知圆\(C_{1}\)：\(x^{2}+(y-2)^{2}=4\)，抛物线\(C_{2}\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)，\(C_{1}\)与\(C_{2}\)相交于\(A.B\)两点，且\(|AB|=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\)，则抛物线\(C_{2}\)的方程为

A．\({{y}^{2}}=\dfrac{8}{5}x\)

B．\({{y}^{2}}=\dfrac{16}{5}x\)

C．\({{y}^{2}}=\dfrac{32}{5}x\)

D．\({{y}^{2}}=\dfrac{64}{5}x\)

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6．
已知定点\(F(0,1)\)和直线\(l_{1}\)：\(y=-1\)，过定点\(F\)与直线\(l_{1}\)相切的动圆的圆心为点\(C\)．

\((1)\)求动点\(C\)的轨迹方程；

\((2)\)过点\(F\)的直线\(l_{2}\)交轨迹于\(P\)，\(Q\)两点，交直线\(l_{1}\)于点\(R\)，求\(\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}\) 的最小值．

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7．

抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 \)的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为\(\left( \dfrac{3}{2}, \sqrt{6}\right) .\)求抛物线与双曲线的方程．

难度：较难

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8．
已知抛物线\({{y}^{2}}=2px\ \left( p > 0 \right)\)与直线\(y=-x+1\)相交于\(A\)、\(B\)两点，以\(AB\)为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程．

难度：较难

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9．
已知抛物线\({{y}^{2}}=6x\)上的一点到焦点的距离是到\(y\)轴距离的\(2\)倍，则该点的横坐标为．

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10．

已知\(P\)为抛物线\(y\)\({\,\!}^{2}=4\)\(x\)上一个动点，\(Q\)为圆\(x\)\({\,\!}^{2}+(\)\(y\)\(-4)^{2}=1\)上一个动点，那么点\(P\)到点\(Q\)的距离与点\(P\)到抛物线准线的距离之和的最小值是________．

难度：较难

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