知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设\(F_{1}\)、\(F_{2}\)分别是椭圆\( \dfrac {x^{2}}{4}+y^{2}=1\)的左、右焦点．
\((\)Ⅰ\()\)若\(P\)是第一象限内该椭圆上的一点，且\( \overrightarrow{PF_{1}}\cdot \overrightarrow{PF_{2}}=- \dfrac {5}{4}\)，求点\(P\)的坐标；
\((\)Ⅱ\()\)设过定点\(M(0,2)\)的直线\(l\)与椭圆交于不同的两点\(A\)、\(B\)，且\(∠AOB\)为锐角\((\)其中\(O\)为坐标原点\()\)，求直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围．

难度：较难

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2．

已知函数\(f(x)=x+\sin x(x∈R)\)，且\(f(y-2y+3)+f(x^{2}-4x+1)\leqslant 0\)，则当\(y\geqslant 1\)时，\( \dfrac{y}{x+1}\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\(\left[ \left. \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4} \right. \right]\)

B．\(\left[ \left. \dfrac{1}{4},1 \right. \right]\)

C．\([1,3 \sqrt{2}-3]\)

D．\(\left[ \left. \dfrac{1}{3},+∞ \right. \right) \)

难度：较难

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3．
已知椭圆\(E\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(M\left( \left. 1, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} \right. \right)\)，离心率为\( \dfrac{ \sqrt{3}}{3}\)．

\((1)\)求椭圆\(E\)的标准方程；

\((2)\)若\(A_{1}\)，\(A_{2}\)分别是椭圆\(E\)的左、右顶点，过点\(A_{2}\)作直线\(l\)与\(x\)轴垂直，点\(P\)是椭圆\(E\)上的任意一点\((\)不同于椭圆\(E\)的四个顶点\()\)，连接\(PA_{1}\)交直线\(l\)于点\(B\)，点\(Q\)为线段\(A_{2}B\)的中点，求证：直线\(PQ\)与椭圆\(E\)只有一个公共点．

难度：较难

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4．

已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(\)\(a\)\( > \)\(b\)\( > 0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，长轴长等于圆\(R\)：\(x\)\({\,\!}^{2}+(\)\(y\)\(-2)^{2}=4\)的直径，过点\(P\)\((0,1)\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于两点\(A\)，\(B\)\(.\)与圆\(R\)交于两点\(M\)，\(N\)．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程

\((2)\)求证：直线\(R\)\(A\)，\(R\)\(B\)的斜率之和等于零；

\((3)\)求\(｜\)\(AB\)\(｜·｜\)\(MN\)\(｜\)的取值范围．

难度：较难

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5．

已知椭圆\(C\)的中心在坐标原点，焦点在\(x\)轴上，离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，过椭圆的左焦点\(F\)且倾斜角为\(60^{\circ}\)的直线与圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\)相切．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((2)\)若直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(M\)，\(N\)两点\((M,N\)是左、右顶点\()\)，若以\(MN\)为直径的圆恰好过椭圆\(C\)的右顶点\(A.\)判断直线\(l\)是否过定点，若是，求出该定点的坐标，若不是，请说明理由．

难度：较难

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