知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$D$，$E$分别是$AB$、$BB_{1}$的中点，$AB=BC$．
$(1)$证明：$BC_{1}/\!/$平面$A_{1}CD$；
$(2)$平面$A_{1}EC⊥$平面$ACC_{1}A_{1}$．

难度：较难

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2．
如图，$AB$为圆$O$的直径，点$E$、$F$在圆$O$上，$AB/\!/EF$，矩形$ABCD$所在的平面和圆$O$所在的平面互相垂直，且$AB=2$，$AD=EF=1$．
$(1)$求证：$AF⊥$平面$CBF$；
$(2)$设平面$CBF$将几何体$EFABCD$分成的两个锥体的体积分别为$V_{F-ABCD}$，$V_{F-CBE}$，求$V_{F-ABCD}$：$V_{F-CBE}$．

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3．在三棱锥P-ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面PAC；
（2）求证：DE⊥AD．

难度：较难

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4．已知在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、M、N分别是BC、AE、D₁C的中点，AD=AA₁，AB=2AD
（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD₁A₁
（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角的余弦值．

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5．如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ a．
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．

难度：较难

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6．如图，三棱锥S-ABC，E、F分别在线段AB、AC上，EF∥BC，△ABC、△SEF均是等边三角形，且平面SEF⊥平面ABC，若BC=4，EF=a，O为EF的中点．
（Ⅰ）当a= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ 时，求三棱锥S-ABC的体积．
（Ⅱ）a为何值时，BE⊥平面SCO．

难度：较难

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7．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，P为AB的中点，Q为CD₁的中点．
（1）求证：DP⊥平面A₁ABB₁；
（2）求证：PQ∥平面ADD₁A₁．
（3）若E为CC₁的中点，能否在CP上找一点F，使得EF∥面DPQ？并给出证明过程．

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8．如图，四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，E、F分别为AD、AC的中点，BC⊥CD．
求证：（1）EF∥平面BCD
（2）平面BDC⊥平面ACD．

难度：较难

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 $PA%3DPD%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7DAD$ ，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的正切值．

难度：较难

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10．（2016•南通模拟）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，|
AB
|=1，
A1P
=λ
A1C
(0＜λ＜1)．
（1）若λ=
1
2
，求直线PB与PD所成角的正弦值；
（2）是否存在实数λ，使得直线A₁C⊥平面PBD？并说明理由．

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