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如图，在四棱锥\(P—ABCD\)中，四边形\(ABCD\)是直角梯形，\(AB⊥AD\)，\(AB/\!/CD\)，\(PC⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB=2AD=2CD=4\)，\(PC=2a\)，\(E\)是\(PB\)的中点．
\((1)\)求证：\(AC⊥\)平面\(PBC\)；
\((2)\)若二面角\(P—AC—E\)的余弦值为\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，求直线\(PA\)与平面\(EAC\)所成角的正弦值．
如图，正四棱柱\((\)底面为正方形，侧棱垂直于底面\()ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AA_{1}=2AB\)，则异面直线\(A_{1}B\)与\(AD_{1}\)所成角的余弦值为\((\) \()\)
如下图，直四棱柱\(ABCD—A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，底面\(ABCD\)为等腰梯形，\(AD=2BC=2CD=4\)，\(A{{A}_{1}}=2\sqrt{3}\)．
\((\)Ⅰ\()\)证明：\(AD_{1}⊥B_{1}D\)；
\((\)Ⅱ\()\)设\(E\)是线段\(A_{1}B_{1}\)上的动点，是否存在这样的点\(E\)，使得二面角\(E—BD_{1}—A\)的余弦值为\(\dfrac{\sqrt{7}}{7}\)，如果存在，求出\(B_{1}E\)的长；如果不存在，请说明理由．
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(PA=AB=AD=2\)，四边形\(ABCD\)满足\(AB⊥AD\)，\(BC/\!/AD\)且\(BC =4\)，点\(M\)为\(PC\)的中点，点\(E\)为\(BC\)边上的动点，且\(\dfrac{BE}{EC}=\lambda \)．
\((\)Ⅱ\()\)是否存在实数\(\lambda \)，使得二面角\(P-DE-B\)的余弦值为\(\dfrac{2}{3}\)？若存在，试求出实数\(\lambda \)的值；若不存在，说明理由．
如图，在三棱柱\(ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \)中，\(CA=AB=A{A}_{1} \)，\(∠BA{A}_{1}=∠BAC={60}^{^{\circ}} \)，点 \(O\)是线段 \(AB\) 的中点．
\((1)\)证明：\(B{C}_{1} /\!/\)平面\(O{A}_{1}C \)；
\((2)\)若 \(AB=2\)，\({A}_{1}C= \sqrt{6} \)，求二面角\(A-BC-{A}_{1} \) 的余弦值．
如图，正方形\(ABCD\)与等边三角形\(ABE\)所在的平面互相垂直，\(M,N\)分别是\(DE,AB\)的中点．
\((1)\)证明：\(MN/\!/\)平面\(BCE\)；
\((2)\)求锐二面角\(M-AB-E\)的余弦值．
已知正四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA=AB=2,E,F\)分别是\(PB,PC\)的中点，则异面直线\(AE\)与\(BF\)所成角的余弦值为\((\) \()\)
如图，四棱柱\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)的底面\(ABCD\)平面是平行四边形，且\(AB=1\)，\(BC=2,∠ABC=60^{\circ} \)，点\(E\)为\(BC\)的中点，\(AA_{1}⊥ \)平面\(ABCD\)．
如图，矩形\(ABCD\)所在平面与三角形\(ECD\)所在平面相交于\(CD,AE\bot \)平面\(ECD\)， \(2AE=AB=DE=2\)，点\(M\)在线段\(AE\)上，\(N\)为线段\(CD\)的中点．
\((1)\)证明\(AB\bot \)平面\(ADE\)；
\((2)\)若\(M\)为\(AE\)中点，求平面\(BDM\)与平面\(BNE\)所成锐二面角的余弦值；
\((3)\)若\(EN/\!/\)平面\(BDM\)，求\(MN\)的长．
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