已知向量\( \overrightarrow{a}=\left(3,1\right) \)，\( \overrightarrow{b}=\left(-2,4\right) \)，求\( \overrightarrow{a} \)在\( \overrightarrow{b} \)方向上的投影为         ．

\((1)\)已知向量\(\overset{}{a}\)，\(\overset{}{b}\)，若\(\overset{}{a}\)在\(\overset{}{b}\)方向上的投影为\(3\)，\(\left| \overset{}{b} \right|{=}2\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\)__________．

\((2)\)若函数\(f(x)=\sin \pi x,x\in [\dfrac{1}{3},\dfrac{5}{6}]\)，则\(f(x)\)的值域为___________．

\((3)\)已知\(\cos (\dfrac{\pi }{6}-\alpha )=\dfrac{2}{3}\)，则\(\sin (\alpha -\dfrac{2\pi }{3})=\)__________．

\((4)\)若函数\(f(x)=\dfrac{2{{(x+1)}^{2}}+\sin x}{{{x}^{2}}+1}\)的最大值和最小值分别为\(M\)、\(m\)，则函数\(M+m=\)_______．

\((1)\)求\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\) ；

\((2)\)在\(\Delta ABC\)，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\) ，求\(BC\)边的长度和\(\overrightarrow{AB}\) 在\(\overrightarrow{AC}\) 上的投影．

已知在正方形\(ABCD\)中，\(\overset{⇀}{AE}= \dfrac{1}{2} \overset{⇀}{AB} \)，\(\overset{⇀}{AF}= \dfrac{1}{4} \overset{⇀}{AD} \)，则\(\overset{⇀}{CE} \)在\(\overset{⇀}{CF} \)方向上的投影为\((\)   \()\)

已知点\(A(-1,1)\)，\(B(1,2)\)，\(C(-2,-1)\)，\(D(3,4)\)，则向量\(\overrightarrow{CD}\)在\(\overrightarrow{BA}\)方向上的投影是\((\)　　\()\)

\(\triangle ABC\)的外接圆的圆心为\(O\)，半径为\(1\)，\(2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)，且\(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{AB}|\)，则向量\(\overrightarrow{CA}\)在向量\(\overrightarrow{CB}\)方向上的投影为

若锐角\(α\)、\(β\)满足\((1+ \sqrt{3} \)\(\tan \)\(α)(1+ \sqrt{3} \)\(\tan \)\(β)=4\)，则\(α+β= \)______．

已知\(2 \overset{→}{a} - \overset{→}{b} =(-1, \sqrt{3} )\)，\( \overset{→}{c} =(1, \sqrt{3} )\)且\( \overset{→}{a} · \overset{→}{c} =3\)，\(| \overset{→}{b} |=4\)，则\( \overset{→}{b} \)与\( \overset{→}{c} \)的夹角为 ______．

已知\(x\)\(∈R\)，向量\( \overset{→}{AB} =(-1,x+2)\)，\( \overset{→}{CD} =(x,1)\)，则在\( \overset{→}{AB} \)方向上的投影的最大值为 ______．

其中正确的结论序号为 ______．

设\(O\)为坐标原点，\(M(2,1)\)，点\(N(x,y)\)满足\(\begin{cases} & x-4y\leqslant -3 \\ & 3x+5y\leqslant 25 \\ & x\geqslant 1 \end{cases}\)，则\(\overrightarrow{ON}\)在\(\overrightarrow{OM}\)上的投影最大值是______．