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若点\(M\)是棱长为\({3}\sqrt{2}\)的正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的内切球\(O\)球面上的动点，点\(N\)为\(B_{1}C_{1}\)上一点，\(2NB_{1}=NC_{1}\)，\(DM⊥BN\)，则动点\(M\)的轨迹的长度为____________．
已知\(A\)，\(B\)，\(C\)三点都在体积为\(\dfrac{500\pi }{3}\)的球\(O\)的表面上，若\(AB=4\sqrt{3}\)，\(∠ACB=60^{\circ}\)，则球心\(O\)到平面\(ABC\)的距离为________．
如图，正方体\(ABCD—A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的棱长为\(\sqrt{3}\)，以顶点\(A\)为球心，\(2\)为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于
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