知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“若$p$，则$q$”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，判断它们的真假．

难度：较难

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2．如图，在四棱锥中P-ABCD，底面ABCD为边长为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 的正方形，PA⊥BD．
（Ⅰ）求证：PB=PD；
（Ⅱ）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥的D-ACE体积．

难度：较难

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3．如图，在四棱锥中P-ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．

难度：较难

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4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，侧棱AA₁=3，点D为AB的中点，点E在线段AA₁上，AE=λAA₁（λ为实数）．
（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B₁E；
（2）当λ= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ 时，求平面CDE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

难度：较难

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5．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ AC=2，∠ACB=∠ACD= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ．
（1）证明：AP⊥BD；
（2）若AP= $%20%5Csqrt%20%7B7%7D$ ，AP与BC所成角的余弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B7%7D%7D%7B7%7D$ ，求二面角A-BP-C的余弦值．．

难度：较难

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6．
如图，在直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，平面$A_{1}BC⊥$侧面$ABB_{1}A_{1}$，且$AA_{1}=AB=2$．
$(1)$求证：$AB⊥BC$；
$(2)$若直线$AC$与平面$A_{1}BC$所成的角为$ \dfrac {π}{6}$，请问在线段$A_{1}C$上是否存在点$E$，使得二面角$A-BE-C$的大小为$ \dfrac {2π}{3}$，请说明理由．

难度：较难

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7．如图，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD为矩形，△PCD为等边三角形， $BC%3D%20%5Csqrt%20%7B2%7DAB$ ，点M为BC中点，平面PCD⊥平面ABCD．
（1）求证：PD⊥BC；
（2）求二面角P-AM-D的大小．

难度：较难

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8．如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱SA=4，AC与BD相交于点O．
（1）证明：SO⊥BD；
（2）求三棱锥O-SCD的体积．

难度：较难

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD= $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ，CD=2AB=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，∠PAD=120°，E和F分别是棱CD和PC的中点．
（1）求证：CD⊥BF；
（2）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．

难度：较难

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10．如图，异面直线AB，CD互相垂直，CF是它们的公垂线段，且F为AB的中点，作DE
∥
.
CF，连接AC、BD，G为BD的中点，AB=AC=AE=BE=2．
（1）在平面ABE内是否存在一点H，使得AC∥GH？若存在，求出点H所在的位置，若不存在，请说明理由；
（2）求G-ACD的体积．

难度：较难

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