知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

如图，三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，\(AB\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\)，\(A{{A}_{1}}=AB=AC=2\)，\(\angle {{A}_{1}}AC={{60}^{{}^\circ }}\)．过\(A{{A}_{1}}\)的平面交\({{B}_{1}}{{C}_{1}}\)于点\(E\)，交\(BC\)于点\(F\)．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\({{A}_{1}}C\bot \)平面\(AB{{C}_{1}}\)；

\((\)Ⅱ\()\)求证：四边形\(A{{A}_{1}}EF\)为平行四边形；

\((\)Ⅲ\()\)若\(\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{2}{3}\)，求二面角\(B-A{{C}_{1}}-F\)的大小．

难度：较难

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2．已知直线\(a{,}b\)，平面\(\alpha\)，则以下三个命题：
\({①}\)若\(a{/\!/}b{,}b{⊂}\alpha\)，则\(a{/\!/}\alpha\)；
\({②}\)若\(a{/\!/}b{,}b{/\!/}\alpha\)，则\(a{/\!/}\alpha\)；
\({③}a{/\!/}\alpha{,}b{/\!/}\alpha\)，则\(a{/\!/}b\)；
其中真命题的个数是\(({ })\)

A．\(0\)

B．\(1\)

C．\(2\)

D．\(3\)

难度：较难

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3．如图，在几何体\(ABCDEF\)中，底面\(ABCD\)为矩形，\({EF}{/\!/}{CD}{,}{AD}{⊥}{FC}{.}\)点\(M\)在棱\(FC\)上，平面\(ADM\)与棱\(FB\)交于点\(N\)．

\((1)\)求证：\({AD}{/\!/}{MN}\)；
\((2)\)求证：平面\({ADMN}{⊥}\)平面\(CDEF\)；
\((3)\)若\({CD}{⊥}{EA}{,}{EF}{=}{ED}{,}{CD}{=}2{EF}\)，平面\({ADE}{∩}\)平面\({BCF}{=}l\)，求二面角\(A{-}l{-}B\)的大小．

难度：较难

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4．如图所示，在三棱锥\(P-ABQ\)中，\(PB⊥\)平面\(ABQ\)， \(BA=BP=BQ\)， \(D\)，\(C\)，\(E\)，\(F\)分别是\(AQ\)，\(BQ\)，\(AP\)， \(BP\)的中点，\(AQ=2BD\)，\(PD\)与\(EQ\)交于点\(G\)，\(PC\)与 \(FQ\)交于点\(H\)，连接\(GH\)．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(AB/\!/GH\)；
\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(D-GH-E\)的余弦值\(.\)

难度：较难

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5．
在如图所示的几何体中，平面\(ACE⊥\)平面\(ABCD\)，四边形\(ABCD\)为平行四边形，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(EF/\!/BC\)，\(AC=BC=\sqrt{{2}}\)，\(AE=EC=1\)．

\((1)\)求证：\(AE⊥\)平面\(BCEF\)；

\((2)\)求\(F\)到平面\(ABCD\)的距离；

\((3)\)求三棱锥\(B-ACF\)的体积．

难度：较难

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6．如图，在三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，底面\(\triangle \) \(ABC\)是等边三角形，侧面\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)为正方形，且\(A{{A}_{1}}\bot \)平面 \(ABC\)，\(D\)为线段\(AB\)上的一点．

\((\)Ⅰ\()\)若\(B{{C}_{1}}/\!/\)平面\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(CD\)，确定\(D\)的位置，并说明理由；

\((\)Ⅱ\()\)在\((\)Ⅰ\()\)的条件下，求二面角\({{A}_{1}}D-C-B{{C}_{1}}\)的余弦值．

难度：较难

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7．

如图所示，正方体\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)的棱长为\(1\)，线段\({{B}_{1}}{{D}_{1}}\)上有两个动点\(E,F\)，且\(EF=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，则下列结论中错误的是\((\) \()\)