知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
椭圆$C$的参数方程为$ \begin{cases} \overset{x=2\cos \phi }{y=\sin \phi }\end{cases}(φ$为参数$)$，以直角坐标系的原点为极点，$x$轴正半轴为极轴的极坐标中，直线$l$的方程为$ρ= \dfrac {10}{2\cos \theta +\sin \theta }$．
$(1)$求出直角坐标系中$l$的方程和椭圆$C$的普通方程；
$(2)$椭圆$C$上有一个动点$M$，求$M$到$l$的最小距离及此时$M$的坐标．

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2．在平面直角坐标系中，以原点为极点，以$x$轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线$C$ 的极坐标方程为：$ρ=2\cos θ$．
$(I)$若曲线$C_{2}$，参数方程为：$ \begin{cases} \overset{x=t\cos \alpha }{y=1+t\sin \alpha }\end{cases}(α$为参数$)$，求曲线$C_{1}$的直角坐标方程和曲线$C_{2}$的普通方程
$($Ⅱ$)$若曲线$C_{2}$，参数方程为 $ \begin{cases} \overset{x=t\cos \alpha }{y=1+t\sin \alpha }\end{cases}(t$为参数$)$，$A(0,1)$，且曲线$C_{1}$，与曲线$C_{2}$交点分别为$P$，$Q$，求$ \dfrac {1}{|AP|}+ \dfrac {1}{|AQ|}$的取值范围，

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3．已知曲线$C： \dfrac {4x^{2}}{9}+ \dfrac {y^{2}}{16}=1$，直线$l： \begin{cases} \overset{x=3+t}{y=5-2t}\end{cases}(t{为参数})$．
$($Ⅰ$)$写出曲线$C$的参数方程，直线$l$的普通方程；
$($Ⅱ$)$过曲线$C$上任意一点$P$作与$l$夹角为$30^{\circ}$的直线，交$l$于点$A$，求$|PA|$的最大值与最小值．

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4．在直角坐标系$xOy$中，圆$O$的参数方程为$ \begin{cases} \overset{x=2\cos \theta }{y=2\sin \theta }\end{cases}(θ$为参数$)$，直线$l$的参数方程为$ \begin{cases} \overset{x=2+t}{y=4+t}\end{cases}(t$为参数$)$．
$(I)$若直线$l$与圆$O$相交于$A$，$B$两点，求弦长$|AB|$，若点$P(2,4)$，求$|PA|⋅|PB|$的值；
$(II)$以该直角坐标系的原点$O$为极点，$x$轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆$C$的极坐标方程为$ρ=2\cos θ+2 \sqrt {3}\sin θ$，圆$O$和圆$C$的交点为$P$，$Q$，求弦$PQ$所在直线的直角坐标方程．

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5．在直角坐标系$xOy$中，直线$l$的参数方程为$ \begin{cases} \overset{x=1+t\cos \alpha }{y=1+t\sin \alpha }\end{cases}(t$为参数，$0\leqslant α < π)$，以原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线$C$的极坐标方程为$ρ=2\cos θ+2\sin θ$．
$($Ⅰ$)$若直线$l$过点$(2,0)$，求直线$l$的极坐标方程；
$($Ⅱ$)$若直线$l$与曲线$C$交于$A$，$B$两点，求$|OA|+|OB|$的最大值．

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6．在平面直角坐标系中，曲线$C_{1}$的参数方程为$ \begin{cases} x=3+ \sqrt {2}\cos α \\ y=1+ \sqrt {2}\sin α\end{cases}(α$为参数$)$，以坐标原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中有射线$l$：$θ= \dfrac {π}{4}(ρ\geqslant 0)$和曲线$C_{2}$：$ρ(\sin θ+2\cos θ)=ρ^{2}\cos ^{2}θ+m$．
$(1)$判断射线$l$和曲线$C_{1}$公共点的个数；
$(2)$若射线$l$与曲线$C_{2}$交于点$A$，$B$两点，且满足$|OA|=|AB|$，求实数$m$的值．

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7．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ sin（θ+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ）．倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点
（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CPM%7C%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CPN%7C%7D$ 的值．

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8．
设极坐标与直角坐标系$xOy$有相同的长度单位，原点$O$为极点，$x$轴坐标轴为极轴，曲线$C_{1}$的极坐标方程为$ρ^{2}\cos 2θ+3=0$，曲线$C_{2}$的参数方程为$ \begin{cases}x=2t+m \\ y=t\end{cases}(t$是参数，$m$是常数$)$．
$($Ⅰ$)$求$C_{1}$的直角坐标方程和$C_{2}$的普通方程；
$($Ⅱ$)$若$C_{1}$与$C_{2}$有两个不同的公共点，求$m$的取值范围．

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9．
在平面直角坐标系$xOy$中，曲线$C_{1}$的参数方程为$ \begin{cases} \overset{x=\cos \phi }{y=\sin \phi }\end{cases}(φ$为参数$)$，曲线$C_{2}$的参数方程为$ \begin{cases} \overset{x=a\cos \phi }{y=b\sin \phi }\end{cases}(a > b > 0,φ$为参数$)$在以$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线$l$：$θ=α$与$C_{1}$，$C_{2}$各有一个交点$.$当$α=0$时，这两个交点间的距离为$2$，当$α= \dfrac {π}{2}$时，这两个交点重合．
$(I)$分别说明$C_{1}$，$C_{2}$是什么曲线，并求出$a$与$b$的值；
$(II)$设当$α= \dfrac {π}{4}$时，$l$与$C_{1}$，$C_{2}$的交点分别为$A_{1}$，$B_{1}$，当$α=- \dfrac {π}{4}$时，$l$与$C_{1}$，$C_{2}$的交点为$A_{2}$，$B_{2}$，求四边形$A_{1}A_{2}B_{2}B_{1}$的面积．

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10．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=
π
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，设l与曲线
x=2cosθ
y=2sinθ
（θ为参数）交于两点A、B，求点P到A，B两点的距离之积．

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