知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2+cx(a，b，c∈R，a≠0)的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数g(x)=k(x)-
1
2
x为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（-1）=0；②对一切实数x，不等式k(x)≤
1
2
x2+
1
2
恒成立．
（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
（Ⅱ）求证：
1
k(1)
+
1
k(2)
+…+
1
k(n)
＞
2n
n+2
（n∈N^*）．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=|x+1|-|2x-1|
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜-1
（Ⅱ）若f（x）≤a|x-2|对任意x∈R成立，求实数a的最小值．

难度：较难

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3．已知x_n是函数f（x）=xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x-1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．
（1）证明：
1
2
＜x_n+1＜x_n＜1；
（2）证明：
x2+…+xn
n
＜
1
2
．

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4．设0＜x₁＜x₂＜
π
2
．
（Ⅰ）证明：x₁＞sinx₁
（Ⅱ）x₁sinx₂cosx₁＞x₂sinx₁cosx₂．

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5．已知a²+b²=1，c²+d²=1，求证：|ac+bd|≤1．

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6．对于数列A：a₁，a₂，…，a_n，记M_i表示实数a₁，a₂，…，a_i中最大的数，m_i表示实数a_i，a_i+1，…，a_n中最小的数，d_i=M_i-m_i，其中i=1，2，…n．定义变换T，T将数列A变换成数列T（A）：d₁，d₂，…，d_n．
（1）已知数列A：2，0，4，-1，1和数列B：b_k=3k，k=1，2，…，n，写出数列T（A）和T（B）；
（2）已知数列A：a₁，a₂，a₃中任意两个项互不相等，证明：数列T（A）：d₁，d₂，d₃中必有两个相邻的项相等；
（3）证明：对于有穷数列A，T（A）与A是相同的数列的充要条件是a_k=0，k=1，2，…，n．

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7．已知a+b＞0，用分析法证明：
a2+b2
≥
2
2
（a+b）．

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