知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
\((1)3{+}4i\)的平方根是_______________

\((2)\)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是\(a\)的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为\( \dfrac{a^{2}}{4}\)。类比到空间，有两个棱长为\(a\)的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．

\((3)\)已知\(a\)，\(b\)，\(c > 0\)，且\(a+b+c=1\)，则\( \sqrt{4a+1}+ \sqrt{4b+1}+ \sqrt{4c+1}\)的最大值为________．

\((4)\)已知函数\(f(x)={{e}^{x}}-x-1(x\geqslant 0),g(x)=-{{x}^{2}}+4x-3,\)若有\(f(a)=g(b)\)，则\(b\)的最大值为_____________．

难度：较难

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2．
\((1)\)已知函数\(f(x)=\dfrac{{{e}^{x}}-1}{x}-ax-b(a\)、\(b\in R\)，\(e\)为自然对数的底数\()\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程为：\(x+2y+4=0.\)求\(a\)、\(b\)的值；

\((2)\)已知正实数\(x\)、\(y\)满足：\(x+y=13\)，求证：\(2\sqrt{x}+3\sqrt{y}\leqslant 13\)．

难度：较难

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3．
设\(a,\ b,\ c,\ d\)为正数，且\(a+b+c+d=1.\)证明：

\((1){{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\geqslant \dfrac{1}{4}\) ；

\((2)\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{d}+\dfrac{{{d}^{2}}}{a}\geqslant 1\)

难度：较难

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4．
\((1)\)已知\(a\)，\(b\)，\(c∈R\)，且\(2a+2b+c=8\)，求\((a-1)^{2}+(b+2)^{2}+(c-3)^{2}\)的最小值．

\((2)\)请用数学归纳法证明：\(\left(\begin{matrix}1- \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1- \dfrac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1- \dfrac{1}{16}\end{matrix}\right)…\left(\begin{matrix}1- \dfrac{1}{n^{2}}\end{matrix}\right)= \dfrac{n+1}{2n}(n\geqslant 2,n∈N_{+}).\)

难度：较难

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