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          共50条信息

            • 1．

              用数学归纳法证明\(\dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2}+⋯+ \dfrac{1}{3n}\geqslant \dfrac{5}{6} \)时，从\(n=k\)到\(n=k+1\)，不等式左边需添加的项是\((\)    \()\)

              A．\(\dfrac{1}{3k+1}+\dfrac{1}{3k+2}+\dfrac{1}{3k+3}\)
              B．\(\dfrac{1}{3k+1}+\dfrac{1}{3k+2}-\dfrac{2}{3k+3}\)
              C．\(\dfrac{1}{3k+3}-\dfrac{1}{k+1}\)
              D．\(\dfrac{1}{3k+3}\)
              难度：较难
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            • 2．

              设\(f(k)\)是定义在正整数集上的函数，满足“只要\(f(k)\geqslant k^{2}\)成立就能推出\(f(k+1)\geqslant (k+1)^{2}\)成立”，则下列命题总成立的是  \((\)    \()\)

              A．若\(f(1) < 1\)成立，则\(f(10) < 100\)成立
              B．若\(f(2) < 4\)成立，则\(f(1)\geqslant 1\)成立
              C．若\(f(3)\geqslant 9\)成立，则当\(k\geqslant 1\)时，均有\(f(k)\geqslant k^{2}\)成立
              D．若\(f(4)\geqslant 25\)成立，则当\(k\geqslant 4\)肘，均有\(f(k)\geqslant k^{2}\)成立
              难度：较难
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            • 3．

              用数学归纳法证明“当\(n\)为正奇数时，\(x^{n}+y^{n}\)能被\(x+y\)整除”，第二步归纳假设应写成\((\)　　\()\)

              A．假设\(n=2k+1(k∈N^{*})\)正确，再推\(n=2k+3\)正确
              B．假设\(n=2k-1(k∈N^{*})\)正确，再推\(n=2k+1\)正确
              C．假设\(n=k(k∈N^{*})\)正确，再推\(n=k+1\)正确

              D．假设\(n=k(k\geqslant 1)\)正确，再推\(n=k+2\)正确
              难度：较难
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            • 4．

              用数学归纳法证明等式\((n+1)(n+2)…(n+n)=2^{n}·1·3·…·(2n-1)\)，第二步从\(n=k\)时到\(n=k+1\)时左端应增乘的代数式是  \((\)    \()\)

              A．\(2k+1\)
              B．\(2(2k+1)\)
              C．\(\dfrac{{2}k+{1}}{k+{1}}\)
              D．\(\dfrac{{2}k+{3}}{k+{1}}\)
              难度：较难
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            • 5．

              用数学归纳法证明\(1+2+3+\cdots +{{n}^{2}}=\dfrac{{{n}^{4}}+{{n}^{2}}}{2},\)则当\(n=k+1\)时左端应在\(n=k\)的基础上加上

              A．\({{k}^{2}}+1\)
              B．\({{(k+1)}^{2}}\)
              C．\(\dfrac{{{(k+1)}^{4}}+{{(k+1)}^{2}}}{2}\)
              D．\(({{k}^{2}}+1)+({{k}^{2}}+2)+\cdots +{{(k+1)}^{2}}\)
              难度：较难
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            • 6．
              记\([x]\)为不超过实数\(x\)的最大整数，例如：\([2]=2\)，\([1.5]=1\)，\([-0.3]=-1\)，设\(a\)为正整数，数列\(\{x_{n}\}\)满足：\(x_{1}=a\)，\(x_{n+1}=[ \dfrac {x_{n}+[ \dfrac {a}{x_{n}}]}{2}](n∈N^{*})\)，现有下列命题：
              \(①\)当\(a=5\)时，数列\(\{x_{n}\}\)的前\(3\)项依次为\(5\)，\(3\)，\(2\)；
              \(②\)对数列\(\{x_{n}\}\)都存在正整数\(k\)，当\(n\geqslant k\)时，总有\(x_{n}=x_{k}\)；
              \(③\)当\(n\geqslant 1\)时，\(x_{n} > \sqrt {a}-1\)；
              \(④\)对某个正整数\(k\)，若\(x_{k+1}\geqslant x_{k}\)，则\(x_{n}=[ \sqrt {a}]\)；
              其中的真命题个数为\((\)　　\()\)
              A．\(4\)
              B．\(3\)
              C．\(2\)
              D．\(1\)
              难度：较难
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            • 7．
              用数学归纳法证明不等式“\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+…+ \dfrac {1}{2^{n}-1} < n(n∈N^{*},n\geqslant 2)\)”时，由\(n=k(k\geqslant 2)\)不等式成立，推证\(n=k+1\)时，左边应增加的项数是\((\)　　\()\)
              A．\(2^{k-1}\)
              B．\(2^{k}-1\)
              C．\(2^{k}\)
              D．\(2^{k}+1\)
              难度：较难
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            • 8．
              用数归纳法证明当\(n\)为正奇数时，\(x^{n}+y^{n}\)能被\(x+y\)整除，\(k∈N^{*}\)第二步是\((\)　　\()\)
              A．设\(n=2k+1\)时正确，再推\(n=2k+3\)正确
              B．设\(n=2k-1\)时正确，再推\(n=2k+1\)时正确
              C．设\(n=k\)时正确，再推\(n=k+2\)时正确
              D．设\(n\leqslant k(k\geqslant 1)\)正确，再推\(n=k+2\)时正确
              难度：较难
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            • 9．
              用数学归纳法证明\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+…+ \dfrac {1}{2^{n}-1} < n(n∈N^{*},n > 1)\)时，第一步应验证不等式\((\)　　\()\)
              A．\(1+ \dfrac {1}{2} < 2\)
              B．\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3} < 3\)
              C．\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+ \dfrac {1}{4} < 3\)
              D．\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3} < 2\)
              难度：较难
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            • 10．

              下列说法中正确的有(    )个

              \((1)\)已知命题\(p\)：\(∃{x}_{φ}∈R,使{2}^{{x}_{φ}}=4 \)，则\(\neg p\)是真命题

              \((2)\)等差数列\(\{a_{n}\}\)的公差为\(d\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则“\(d > 0\)”是“\(S_{4}+S_{6} > 2S_{5}\)”的充分必要条件

              \((3)\)用反证法证明“若\(a+b+c < 3\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)中至少有一个小于\(1\)”时，“假设”应为“假设\(a\)，\(b\)，\(c\)全部都大于\(1\)”

              \((4)\)用数学归纳法证明\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+…+ \dfrac{1}{{2}^{n}-1} < n (n∈N\)且\(n > 1)\)，第二步证明中从“\(k\)到\(k+1\)”时，左端增加的项数是\(2^{k}-1\) 

              A．\(4\)个          
              B．\(3\)个           
              C．\(2\)个  
              D．\(1\)个
              难度：较难
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