知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{n}=2a_{n}-2(n∈2N^{*}).$
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$求数列$\{S_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$．

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2．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{1}= \dfrac {1}{2}$，$2a_{n+1}=S_{n}+1$．
$($Ⅰ$)$求$a_{2}$，$a_{3}$的值；
$($Ⅱ$)$设$b_{n}=2a_{n}-2n-1$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$．

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3．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{n}=2a_{n}-2(n∈N^{*}).$
$($Ⅰ$)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$($Ⅱ$)$ 求数列$\{S_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$．

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4．

定义$ \dfrac {n}{P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}}$为$n$个正数$P_{1}$，$P_{2}…P_{n}$的“均倒数”，若已知正整数数列$\{a_{n}\}$的前$n$项的“均倒数”为$ \dfrac {1}{2n+1}$，又$b_{n}= \dfrac {a_{n}+1}{4}$，则$ \dfrac {1}{b_{1}b_{2}}+ \dfrac {1}{b_{2}b_{3}}+…+ \dfrac {1}{b_{10}b_{11}}=($　　$)$

A．$ \dfrac {1}{11}$

B．$ \dfrac {1}{12}$

C．$ \dfrac {10}{11}$

D．$ \dfrac {11}{12}$

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5．

已知数$\{$$a_{n}$$\}$的前$n$项和为$S_{n}$，数列$\{$$b_{n}$$\}$为等差数列，$b$${\,\!}_{1}=-1$，$b_{n}$$ > 0($$n$$\geqslant 2)$，$b$${\,\!}_{2}$$S_{n}$$+$$a_{n}$$=2$且$3$$a$${\,\!}_{2}=2$$a$${\,\!}_{3}+$$a$${\,\!}_{1}$．

$(1)$求$\{$$a_{n}$$\}$、$\{$$b_{n}$$\}$的通项公式；

$(2)$设${{c}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{n}}}$，${{T}_{n}}=\dfrac{{{b}_{1}}}{{{c}_{1}}+1}+\dfrac{{{b}_{2}}}{{{c}_{2}}+1}+\cdots +\dfrac{{{b}_{n}}}{{{c}_{n}}+1}$，证明：${{T}_{n}} < \dfrac{5}{2}$．

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6．

已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且满足$S_{n}+n=2a_{n}(n∈N*)$

$(1)$证明：数列$\{a_{n}+1\}$为等比数列，并求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；

$(2)$数列$\{b_{n}\}$满足$b_{n}=a_{n}·\log _{2}(a_{n}+1)(n∈N*)$，其前$n$项和为$T_{n}$，试求满足${{T}_{n}}+\dfrac{{{n}^{2}}+n}{2} > 2015$的最小正整数$n$．

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7．
定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列$\{a_{n}\}$是等积数列且$a_{1}=2$，公积为$10$，那么这个数列前$21$项和$S_{21}$的值为 ______ ．

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8．设数列{a_n}是等比数列， $a_%7B1%7D%3D%20C_%7B%202m%2B3%20%7D%5E%7B%203m%20%7D%E2%8B%85%20A_%7B%20m-2%20%7D%5E%7B%201%20%7D$ ，公比q是 $%28x%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4x%5E%7B2%7D%7D%29%5E%7B4%7D$ 的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）求a₁；
（2）用n，x表示数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（3）若 $A_%7Bn%7D%3D%20C_%7B%20n%20%7D%5E%7B%201%20%7DS_%7B1%7D%2B%20C_%7B%20n%20%7D%5E%7B%202%20%7DS_%7B2%7D%2B%E2%80%A6%2B%20C_%7B%20n%20%7D%5E%7B%20n%20%7DS_%7Bn%7D$ ，用n，x表示A_n．

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9．已知数列{a_n}的各项均为正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，设集合A_k={x|x=
n
i=1
λ_ia_i，λ_i=-1或λ_i=0，或λ_i=1}（1≤k≤n）．
性质1：若对于∀x∈A_k，存在唯一一组λ_i，（i=1，2，…，k）使x=
n
i=1
λ_ia_i成立，则称数列{a_n}为完备数列，当k取最大值时称数列{a_n}为k阶完备数列．
性质2：若记m_k=
n
i=1
a_i（1≤k≤n），且对于任意|x|≤m_k，k∈Z，都有x∈A_K成立，则称数列P{a_n}为完整数列，当k取最大值时称数列{a_n}为k阶完整数列．
性质3：若数列{a_n}同时具有性质1及性质2，则称此数列{a_n}为完美数列，当K取最大值时{a_n}称为K阶完美数列；
（Ⅰ）若数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，求集合A₂，并指出{a_n}分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}的通项公式为a_n=10^n-1，求证：数列{a_n}为n阶完备数列，并求出集合A_n中所有元素的和S_n．
（Ⅲ）若数列{a_n}为n阶完美数列，试写出集合A_n，并求数列{a_n}通项公式．

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10．在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足 $S_%7Bn%7D%5E%7B2%7D%3Da_%7Bn%7D%28S_%7Bn%7D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29$ ．
(1)求a_n；
(2)令 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7B2n%2B1%7D$ ，求数列{b_n}的前项和T_n．

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