知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．一个半径为1的小球在一个棱长为 $4%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ______ ．

难度：较难

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3．
如图，在三棱锥$D-ABC$中，已知$\triangle BCD$是正三角形，$AB⊥$平面$BCD$，$AB=BC=a$，$E$为$BC$的中点，$F$在棱$AC$上，且$AF=3FC$．
$(1)$求三棱锥$D-ABC$的表面积；
$(2)$求证$AC⊥$平面$DEF$；
$(3)$若$M$为$BD$的中点，问$AC$上是否存在一点$N$，使$MN/\!/$平面$DEF$？若存在，说明点$N$的位置；若不存在，试说明理由．

难度：较难

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4．
如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$PD⊥$平面$ABCD$，底面$ABCD$为平行四边形，$∠ADB=90^{\circ}$，$AB=2AD$．
$($Ⅰ$)$证明：$PA⊥BD$；
$($Ⅱ$)$若$PD=AD$，求直线$PB$与平面$PCD$所成角的正弦值．

难度：较难

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5．
如图，三棱柱$ABC—A_{1}B_{1}C_{1}$的所有棱长均为$2$，底面$ABC⊥$侧面$AA_{1}B_{1}B$，$∠AA_{1}B_{1}=60^{\circ}$，$P$为$OC_{1}$的中点，$AB_{1}∩A_{1}B=O$．

$(1)$证明：$AB_{1}⊥A_{1}P.$

$(2)$若$M$是$AC$棱上一点，满足$∠MOP=45^{\circ}$，求二面角$M—BB_{1}—A$的余弦值．

难度：较难

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6．已知三角形的三条边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为
3
2
，则这个三角形的面积为．

难度：较难

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