已知三棱锥\(S—ABC\)的底面\(ABC\)是直角三角形，其斜边\(AB=8\)，\(SC⊥\)平面\(ABC\)，\(SC=6\)，则三棱锥的外接球的表面积为

\((1)\)已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=n^{2}+1\)，则 \(a_{n=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\)

\((2)\) 已知直三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)的\(6\)个顶点都在球\(O\)的球面上，若\(AB=3\)，\(AC=4\)，\(AB\bot AC\)，\(A{{A}_{1}}=12\)，则球\(O\)的表面积为________

\((3)\)已知实数\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(\sqrt{2} \)是\(8^{a}\)与\(2^{b}\)的等比中项，则\(\dfrac{1}{a}+ \dfrac{2}{b} \)的最小值是______．

\((4)\)若当\(x∈[1,3]\)，\(y∈[2,4]\)时，\(\dfrac{a{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}{xy}-1 > 0\)恒成立，则\(a\)的取值范围是______

如图，在长方体\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)中，已知\(AD=A{{A}_{1}}=1\)，\(AB=2\)，点\(E\)是\(AB\)的中点．

\((1)\)求证：\({{D}_{1}}E\bot {{A}_{1}}D\)；

\((2)\)求直线\({{B}_{1}}C\)与平面\(DE{{D}_{1}}\)所成角的大小．

如图，正方体\(ABCD-{A}{{{'}}}{B}{{{'}}}{C}{{{'}}}{D}{{{'}}}\)的棱长为\(a\)，连接\({A}^{,}{C}^{,},{A}^{,}D,{A}^{,}B \) \(BD,B{C}^{,},{C}^{,}D \)，得到一个三棱锥\({A}{{{'}}}-B{C}{{{'}}}D\)．

求：\(①\)三棱锥\({A}{{{'}}}-B{C}{{{'}}}D\)的表面积与正方体表面积的比值；

\(②\)三棱锥\({A}{{{'}}}-B{C}{{{'}}}D\)的体积．

\((1)\)一个空间几何体的三视图\((\)单位：\(cm)\)如图所示，该几何体的体积为______\(cm^{3}\)．

\((2)\)点\(E\)，\(F\)，\(G\)分别是正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的棱\(AB\)，\(BC\)，\(B_{1}C_{1}\)的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是\(\_\)       \(\_\)\((\)写出所有真命题的编号\()\)．

\(①\)以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；

\(②\)过点\(F\)，\(D_{1}\)，\(G\)的截面是正方形；

\(③\)点\(P\)在直线\(FG\)上运动时，总有\(AP⊥DE\)；

\(④\)点\(Q\)在直线\(BC_{1}\)上运动时，三棱锥\(A-D_{1}QC\)的体积的定值；

\(⑤\)点\(M\)是正方体的平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)内的到点\(D\)和\(C_{1}\)距离相等的点，则点\(M\)的轨迹是一条线段．