知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设\(a > 0\)，\(b > 0\)，且\(a+b= \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{b}.\)求证：
\((1)a+b\geqslant 2\)；
\((2)a^{2}+a < 2\)与\(b^{2}+b < 2\)不可能同时成立．

难度：难

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2．
若不等式\(x^{2}-2y^{2}\leqslant cx(y-x)\)对任意满足\(x > y > 0\)的实数\(x\)、\(y\)恒成立，则实数\(c\)的最大值为 ______ ．

难度：难

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3．
已知函数\(f(x)=m-|x-1|\)，\(m∈R\)，且\(f(x+2)+f(x-2)\geqslant 0\)的解集为\([-2,4]\)．
\((1)\)求\(m\)的值；
\((2)\)若\(a\)，\(b\)，\(c\)为正数，且\( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{2b}+ \dfrac {1}{3c}=m\)，求证\(a+2b+3c\geqslant 3\)．

难度：难

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4．
已知函数\(f(x)=|x+3|+|x-1|\)的最小值为\(m\)．
\((1)\)求\(m\)的值；
\((2)\)若\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(a+b=m\)，求证\( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {4}{b}\geqslant \dfrac {9}{4}\)．

难度：难

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5．
已知正实数\(x\)，\(y\)满足\(x+y+3=xy\)，若对任意满足条件的\(x\)，\(y\)，都有\({{(x+y)}^{2}}-a(x+y)+1\geqslant 0\)恒成立，则实数\({a}\)的取值范围为________

难度：难

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6．
已知点\(A\)在线段\(BC\)上\((\)不含端点\()\)，\(O\)是直线\(BC\)外一点，且\( \overrightarrow{OA}-2a \overrightarrow{OB}-b \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{0}\)，则\( \dfrac {a}{a+2b}+ \dfrac {2b}{1+b}\)的最小值是 ______ ．

难度：难

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7．

设函数\(f\left( x \right)={\ln }x\)，若\(a,b\)是两个不相等的正数且\(p=f\left( \sqrt{ab} \right),q=f\left( \dfrac{a+b}{2} \right)\) \(r=\dfrac{1}{2}f\left( \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2} \right)\) \(v=\dfrac{1}{2}\left[ f\left( a \right)+f\left( b \right) \right]\)，则下列关系式中正确的是\((\) \()\)

A．\(p=q < v < r\)

B．\(p=v < q < r\)

C．\(p=v < r < q\)

D．\(p < v < q < r\)

难度：难

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8．

设函数\(f\left( x \right)={{x}^{2}}+aIn\left( 1+x \right)\)有两个极值点\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，且\({{x}_{1}} < {{x}_{2}}\)

\((I)\)求\(a\)的取值范围，并讨论\(f\left( x \right)\)的单调性；

\((II)\)证明：\(f\left( {{x}_{2}} \right) > \dfrac{1-2In2}{4}\)

难度：难

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9．
已知\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)为实数，且\(a^{2}+b^{2}=4\)，\(c^{2}+d^{2}=16\)，证明\(ac+bd\leqslant 8\)．

难度：难

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10．已知函数\(y=x+ \dfrac {2}{x-1}\)，\(x∈(1,+∞)\)，则\(y\)的最小值是______．

难度：难

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