知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数$f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$，$g\left( x \right)=a\ln x$．

$(1)$ 若曲线$y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$在$x=1$处的切线方程为$6x-2y-5=0$，求实数$a$的值$;$

$(2)$ 设$h\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)$，若对任意两个不相等的正数${{x}_{1}},{{x}_{2}},$都有$\dfrac{h({{x}_{1}})-h({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} > 2$恒成立，求实数$a$的取值范围$;$

$(3)$ 若在$\left[ 1,e \right]$上存在一点${{x}_{0}}$，使得${f}{{{'}}}({{x}_{0}})+\dfrac{1}{{f}{{{'}}}({{x}_{0}})} < g({{x}_{0}})-{g}{{{'}}}({{x}_{0}})$成立，求$a$的取值范围．

难度：难

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2．已知函数$f\left( x \right)={{e}^{x}}$．
$(1)$函数$f\left( x \right)$在点$P(t,f(t))$处的切线过原点，求此切线方程；

$(2)$函数$g(x)={{e}^{x}}-kx+k-e$，是否存在实数$k$，使$g(x)\geqslant 0$对任意的$x\in R$都成立？若有求出所有满足条件的$k$的值，若没有，说明理由．

难度：难

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3．
已知函数$h(x)=x^{3}-x+6\ln x$图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于$m$，则实数$m$的范围为 ______ ．

难度：难

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4．
设函数$f(x)=- \dfrac {1}{3}x^{3}+x^{2}+(m^{2}-1)x$，$(x∈R)$，其中$m > 0$．
$(1)$当$m=1$时，求曲线 $y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；
$(2)$求函数的单调区间与极值；
$(3)$已知函数$f(x)$有三个互不相同的零点$0$，$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1} < x_{2}.$若对$∀x∈[x_{1},x_{2}]$，$f(x) > f(1)$恒成立，求实数$m$的取值范围．

难度：难

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5．

曲线$y=4x-x^{3}$在点$(-1,-3)$处的切线方程是$($　　$)$

A．$y=7x+4$

B．$y=7x+2$

C．$y=x-4$

D．$y=x-2$

难度：难

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6．函数$y=f(x)$的图象如下图所示，则导函数$y=f′(x)$的图象大致是( )

A．

B．

C．

D．

难度：难

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7．

$(1)$已知曲线$y= \dfrac{{x}^{2}}{4} -3\ln x$的一条切线的斜率为$ \dfrac{1}{2} $，求切点的横坐标。

$(2)$已知函数$f\left(x\right)={e}^{x}\left(ax+b\right)-{x}^{2}-4x $，曲线$y = f(x)$在点$(0,f (0))$处切线方程为$y = 4x+4$，求$a$，$b$的值．

难度：难

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