知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=ae^x﹣x﹣1，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．

难度：难

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2．
已知函数$f(x)= \dfrac {2ax+a^{2}-1}{x^{2}+1}$，其中$a∈R$．
$($Ⅰ$)$当$a=1$时，求曲线$y=f(x)$在原点处的切线方程；
$($Ⅱ$)$求$f(x)$的单调区间．

难度：难

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3．

已知函数$f(x)=x(m+e^{-x})$，其中$e$为自然对数的底数，曲线$y=f(x)$上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与$y$轴垂直，则实数$m$的取值范围是$($　　$)$

A．$(0,e^{-2})$

B．$(e^{-2},+∞)$

C．$(0,e^{2})$

D．$(e^{2},+∞)$

难度：难

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4．
已知$f(x)=x^{3}-ax^{2}-a^{2}x+1$，$(a∈R)$．
$($Ⅰ$)$求$f(x)$的单调区间；
$($Ⅱ$)$若$f(x)$的图象不存在与$l$：$y=-x$平行或重合的切线，求实数$a$的取值范围．

难度：难

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5．

设函数$f(x)$是定义在$(-∞,0)$上的可导函数，其导函数为$f′(x)$，且有$3f(x)+xf′(x) > 0$，则
不等式$(x+2015)^{3}f(x+2015)+27f(-3) > 0$的解集$($　　$)$

A．$(-2018,-2015)$

B．$(-∞,-2016)$

C．$(-2016,-2015)$

D．$(-∞,-2012)$

难度：难

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6．
已知函数$f(x)= \dfrac {1}{2}x^{2}$，$g(x)=e\ln x$
$(1)$设函数$F(x)=f(x)-g(x)$，求$F(x)$的单调区间并求最小值；
$(2)$若存在常数$k$，$m$，使得$f(x)\geqslant kx+m$对$x∈R$恒成立，且$g(x)\leqslant kx+m$对$x∈(0,+∞)$恒成立，则称直线$y=kx+m$为函数$f(x)$与$g(x)$的“分界线”，试问：$f(x)$与$g(x)$是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由．

难度：难

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7．已知函数f（x）=me^x﹣x﹣1（其中e为自然对数的底数，），若f（x）=0有两根x₁ ， x₂且x₁＜x₂ ，则函数y=（e $\text{[math]}$ ﹣e $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ﹣m）的值域为．

难度：难

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8．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+ $\text{[math]}$ c＜c²恒成立，求c的取值范围．

难度：难

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9．已知函数f（x）=2x³+bx²+cx，其导函数y=f′（x）的图象（如图所示）经过点（1，0），（2，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0恰有2个根，求m的值．

难度：难

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10．已知（a+e）x-1-lnx≤0（e是自然对数的底数）对任意x∈[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D$ ，2]都成立，则实数a的最大值为 ______ ．

难度：难

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