知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数$f(x)= \dfrac {1}{3}x^{3}-x^{2}+ax+b$的图象在点$P(0,f(0))$处的切线方程为$y=3x-2.$求实数$a$，$b$的值．

难度：难

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2．设$f(x)=a(x-5)^{2}+6\ln x$，其中$a∈R$，曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与$y$轴相交于点$(0,6)$．
$(1)$确定$a$的值；
$(2)$求函数$f(x)$的单调区间与极值．

难度：难

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3．已知函数f（x）= $\text{[math]}$ 在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求实数a的值及f（x）的极值；
（Ⅱ）是否存在区间（t，t+ $\text{[math]}$ ）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）如果对任意的 $\text{[math]}$ ，有|f（x₁）﹣f（x₂）|≥k| $\text{[math]}$ |，求实数k的取值范围．

难度：难

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4．已知函数f（x）=lnx-x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：不等式lnx≤x-1恒成立．

难度：难

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5．
已知函数$f(x)= \dfrac {2ax+a^{2}-1}{x^{2}+1}$，其中$a∈R$．
$($Ⅰ$)$当$a=1$时，求曲线$y=f(x)$在原点处的切线方程；
$($Ⅱ$)$求$f(x)$的单调区间．

难度：难

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6．
已知函数$f(x)=x^{3}-3ax+e$，$g(x)=1-\ln x$，其中$e$为自然对数的底数．
$($Ⅰ$)$若曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与直线$l$：$x+2y=0$垂直，求实数$a$的值；
$($Ⅱ$)$设函数$F(x)=-x[g(x)+ \dfrac {1}{2}x-2]$，若$F(x)$在区间$(m,m+1)(m∈Z)$内存在唯一的极值点，求$m$的值；
$($Ⅲ$)$用$max\{m,n\}$表示$m$，$n$中的较大者，记函数$h(x)=max\{f(x),g(x)\}(x > 0).$若函数$h(x)$在$(0,+∞)$上恰有$2$个零点，求实数$a$的取值范围．

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7．

若曲线$f(x,y)=0$上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线$f(x,y)=0$的自公切线，则下列方程对应的曲线中存在自公切线的为$($　　$)$
$①y=x^{2}-|x|+1$； $②y=\sin x-4\cos x$； $③y=x+ \dfrac {1}{x}$； $④|x|+1= \sqrt {4-y^{2}}$．

A．$②③$

B．$①②$

C．$①②④$

D．$①②③$

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8．

已知函数$f(x)=x(m+e^{-x})$，其中$e$为自然对数的底数，曲线$y=f(x)$上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与$y$轴垂直，则实数$m$的取值范围是$($　　$)$

A．$(0,e^{-2})$

B．$(e^{-2},+∞)$

C．$(0,e^{2})$

D．$(e^{2},+∞)$

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9．
已知$f(x)=x^{3}-ax^{2}-a^{2}x+1$，$(a∈R)$．
$($Ⅰ$)$求$f(x)$的单调区间；
$($Ⅱ$)$若$f(x)$的图象不存在与$l$：$y=-x$平行或重合的切线，求实数$a$的取值范围．

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10．
函数$f(x)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+x+1$与$g(x)$的图象关于直线$2x-y-3=0$对称，$P$，$Q$分别是函数$f(x),g(x)$图象上的动点，则$|PQ|$的最小值为________．

难度：难

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