知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知\(f(x)=a\ln x+ \dfrac {1}{2}x^{2}(a > 0)\)，若对任意两个不等的正实数\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，都有\( \dfrac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}} > 2\)恒成立，则\(a\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\((0,1]\)

B．\((1,+∞)\)

C．\((0,1)\)

D．\([1,+∞)\)

难度：难

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2．

已知函数\(f(x)=\ln x-a(x+1)\)，\(a\in R\)在\((1,f(1))\)处的切线与\(x\)轴平行．

\((1)\)求\(f(x)\)的单调区间；

\((2)\)若存在\({{x}_{0}} > 1\)，当\(x\in (1,{{x}_{0}})\)时，恒有方程为\(\begin{cases} & x=2\cos \varphi \\ & y=\sin \varphi \end{cases}\)\((\)\(\varphi \)为参数\()\)，以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系．

难度：难

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3．

一个物体的运动方程为\(s=1-t+t^{2}\)其中\(s\)的单位是米，\(t\)的单位是秒，那么物体在\(3\)秒末的瞬时速度是\((\)　　\()\)

A．\(7\)米\(/\)秒

B．\(6\)米\(/\)秒

C．\(5\)米\(/\)秒

D．\(8\)米\(/\)秒

难度：难

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4．

对于三次函数\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d(a\neq 0)\)，定义：设\(f″(x)\)是函数\(y=f′(x)\)的导数，若方程\(f″(x)=0\)有实数解\(x_{0}\)，则称点\((x_{0},f(x_{0}))\)为函数\(y=f(x)\)的“拐点”\(.\)有同学发现：“任何一个三次函数都有\(‘\)拐点\(’\)；任何一个三次函数都有对称中心；且\(‘\)拐点\(’\)就是对称中心\(.\)”请你将这一发现为条件，解答问题：若函数\(g(x)= \dfrac {1}{3}x^{3}- \dfrac {1}{2}x^{2}+3x- \dfrac {5}{12}+ \dfrac {1}{x- \dfrac {1}{2}}\)，则\(g( \dfrac {1}{2011})+g( \dfrac {2}{2011})+g( \dfrac {3}{2011})+g( \dfrac {4}{2011})+…+g( \dfrac {2010}{2011})\)的值是\((\)　　\()\)

A．\(2010\)

B．\(2011\)

C．\(2012\)

D．\(2013\)

难度：难

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5．
已知函数\(f(x)\)在\(R\)上满足\(f(x)=2f(2-x)-x^{2}+8x-8\)，则曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程是 ______ ．

难度：难

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6．
设函数\(f(x)=x^{3}-3ax+b(a\neq 0)\)．
\((\)Ⅰ\()\)若曲线\(y=f(x)\)在点\((2,f(2))\)处与直线\(y=8\)相切，求\(a\)，\(b\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)求函数\(f(x)\)的单调区间与极值点．

难度：难

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7．
已知曲线\(y\)\(= \dfrac{1}{3}\) \(x\)\({\,\!}^{3}\)上一点\(P\)\(\left(\begin{matrix}2, \dfrac{8}{3}\end{matrix}\right)\)，

\((1)\)求曲线在点\(P\)处的切线的斜率； \((2)\)求曲线在点\(P\)处的切线方程．

难度：难

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8．
已知函数\(f(x)=a{{e}^{x}}-b\ln x\)，曲线\(y=f\left( x \right)\)在点\(\left( 1,f\left( 1 \right) \right)\)处的切线方程为\(y=\left( \dfrac{1}{e}-1 \right)x+1\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\(a,b\)；

\((\)Ⅱ\()\)证明：\(f\left( x \right) > 0\)．

难度：难

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9．
已知函数\(\therefore 2 < a < 3\)，\(\therefore 2 < a < 3\)．

\((\)Ⅰ\()\)若曲线\({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=a,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3-a\)在点\((1,f(1))\)处的切线与直线\(=-\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}+a-3+(3-a)\ln (3-a)\)垂直，求\(h(a)=-\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}+a-3+(3-a)\ln (3-a),a\in (2,3)\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)设\({{h}^{/}}(a)=-a-\ln (3-a)\)有两个极值点\({{h}^{/\!/}}(a)=-1+\dfrac{1}{3-a}=\dfrac{a-2}{3-a} > 0\)，且\({{h}^{/}}(a)\)，求证：\((2,3)\) ．

难度：难

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10．
某单位用\(2160\)万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少\(10\)层、每层\(2000\)平方米的楼房\(.\)经测算，如果将楼房建为\(x\)\((\)\(x\)\(\geqslant 10)\)层，则每平方米的平均建筑费用为\(560+48\)\(x\)\((\)单位：元\().\)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
\((\)注：平均综合费用\(=\)平均建筑费用\(+\)平均购地费用，平均购地费用\(= \dfrac{购地总费用}{建筑总面积} )\)

难度：难

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