曲线\(y=x\ln x\)在\(x=e\)处的切线的斜率\(k=\)_________

已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为正实数，且\(a+2b\leqslant 8c\)，\(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}\leqslant \dfrac{2}{c}\)，则\(\dfrac{3a{+}8b}{c}\)的取值范围为____\(.\) 

已知函数\(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\)，\(g\left( x \right)=a\ln x\)．

\((1)\) 若曲线\(y=f\left( x \right)-g\left( x \right)\)在\(x=1\)处的切线方程为\(6x-2y-5=0\)，求实数\(a\)的值\(;\)

\((2)\) 设\(h\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)\)，若对任意两个不相等的正数\({{x}_{1}},{{x}_{2}},\)都有\(\dfrac{h({{x}_{1}})-h({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} > 2\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围\(;\)

\((3)\) 若在\(\left[ 1,e \right]\)上存在一点\({{x}_{0}}\)，使得\({f}{{{'}}}({{x}_{0}})+\dfrac{1}{{f}{{{'}}}({{x}_{0}})} < g({{x}_{0}})-{g}{{{'}}}({{x}_{0}})\)成立，求\(a\)的取值范围．

\((1)\)已知向量\( \overrightarrow{a} =(m,1)\)，\( \overrightarrow{b} =(4-n,2)\)，\(m > 0\)，\(n > 0\)，若\( \overrightarrow{a} /\!/ \overrightarrow{b} \)，则\( \dfrac{1}{m} + \dfrac{8}{n} \)的最小值________\(.\)   

\((2)\)点\(P(x_{0}\)  ， \(y_{0})\)是曲线\(y=3\ln x+x+k(k∈R)\)图象上一个定点，过点\(P\)的切线方程为\(4x-y-1=0\)，则实数\(k\)的值为________．

\((3)\) 在等腰梯形\(ABCD\)中，\(AB=2DC=2\)，\(∠DAB=60\)，\(E\)为\(AB\)的中点，将\(∆ADE\)与\(∆BEC\)分布沿\(ED\)、\(EC\)向上折起，使\(A\)、\(B\)重合于点\(P\)，则三棱锥\(P-DCE\)的外接球的体积为________．

\((4)\)已知任何三次函数\(f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d(a\ne 0)\)都有对称中心\(M({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))\)记函数\(f(x)\)的导函数为\({{f}^{{{{'}}}}}(x),{{f}^{{{{'}}}}}(x)\)的导函数为\({{f}^{{{{'}}}{{{'}}}}}(x)\)，则有\({{f}^{{{{'}}}{{{'}}}}}({{x}_{0}})=0,f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}},\)则\(f(\dfrac{1}{2016})+f(\dfrac{2}{2016})+f\left( \dfrac{3}{2016} \right)+\cdots +f(\dfrac{4031}{2016})=\)_______\(.\)   

已知函数\(f(x)=\dfrac{mx-n}{x}-\ln x,(m,n\in R)\)

\((1)\)若函数\(f(x)\)在\(\left( 2,f(2) \right)\)处的切线与直线\(x-y=0\)平行，求实数\(n\)的值

\((2)\)讨论函数\(f(x)\)在区间\(\left[ 1,+\infty \right)\)上的最大值；

\((3)\)若\(n=1\)时，函数\(f(x)\)恰有两个零点\({{x}_{1}},{{x}_{2}}(0 < {{x}_{1}} < {{x}_{2}})\)，求证：\({{x}_{1}}+{{x}_{2}} > 2\)