知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

数列${{A}_{n}}$：${{a}_{1}},\,\ {{a}_{2}},\,\ \cdots ,\,\ {{a}_{n}}\,(n\geqslant 4)$满足：${{a}_{1}}=1$，${{a}_{n}}=m$，${{a}_{k+1}}-{{a}_{k}}=0$或$1(\,k=1,\,\ 2,\,\ \cdots ,\,\ n-1\,)$．对任意$i,j$，都存在$s,t$，使得${{a}_{i}}+{{a}_{j}}={{a}_{s}}+{{a}_{t}}$，其中$i,j,s,t\in \{1,2,\cdots ,n\}$且两两不相等．

$($Ⅰ$)$若$m=2$，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；

$①1,1,1,2,2,2$； $②1,1,1,1,2,2,2,2$； $③1,1,1,1,1,2,2,2,2$

$($Ⅱ$)$记$S={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}.$若$m=3$，证明：$S\geqslant 20$；

$($Ⅲ$)$若$m=2018$，求$n$的最小值．

难度：难

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2．数列$\{a_{n}\}$满足${S}_{n}=2n-{a}_{n}\left(n∈{N}^{*}\right) $
$(1)$计算$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$
$(2)$猜想$a_{n}$的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：难

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3．已知：在数列{a_n}中，a₁=7，a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7B7a_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%2B7%7D$ ，
（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式．
（2）请证明你猜想的通项公式的正确性．

难度：难

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4．
已知：在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=7$，$a_{n+1}= \dfrac {7a_{n}}{a_{n}+7}$，
$(1)$请写出这个数列的前$4$项，并猜想这个数列的通项公式．
$(2)$请证明你猜想的通项公式的正确性．

难度：难

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5．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{n}=2a_{n}-3n(n∈N_{+}).$
$(1)$求$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$的值；
$(2)$是否存在常数$λ$，使得$\{a_{n}+λ\}$为等比数列？若存在，求出$λ$的值和通项公式$a_{n}$，若不存在，请说明理由．

难度：难

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6．
．设数列$\{$$a_{n}$$\}$的前$n$项和为$S_{n}$．已知$a$${\,\!}_{1}$$=a$$($$a$$\neq 3)$，$a_{n+}$${\,\!}_{1}$$=S_{n}+$$3$${\,\!}^{n}$，$n$$∈N$${\,\!}^{*}$．

$(1)$设$b_{n}=S_{n}-$$3$${\,\!}^{n}$，求数列$\{$$b_{n}$$\}$的通项公式$;$

$(2)$若$a_{n+}$${\,\!}_{1}\geqslant $$a_{n}$，求$a$的取值范围．

难度：难

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7．
若数列$\{{{a}_{n}}\}$和$\{{{b}_{n}}\}$的项数均为$m$，则将数列$\{{{a}_{n}}\}$和$\{{{b}_{n}}\}$的距离定义为$\sum\limits_{i=1}^{m}{|{{a}_{i}}-{{b}_{i}}|}$ ．

$(1)$求数列$1$，$3$，$5$，$6$和数列$2$，$3$，$10$，$7$的距离．

$(2)$记$A$为满足递推关系${{a}_{n+1}}=\dfrac{1+{{a}_{n}}}{1-{{a}_{n}}}$的所有数列$\{{{a}_{n}}\}$的集合，数

难度：难

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