知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
各项都为正数的数列\(\{a_{n}\}\)，其前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=(\sqrt{{S}_{n-1}}+ \sqrt{{a}_{1}} )^{2}(n\geqslant 2)\)，若\(b_{n}=\dfrac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}+ \dfrac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}} \)，且数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项的和为\(T_{n}\)，则\(T_{n}=\)_____________．

难度：难

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2．
\(《\)九章算术\(》\)中的“竹九节”问题：现有一根\(9\)节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面\(4\)节的容积共\(3L\)，下面\(3\)节的容积共\(4L\)，则第\(5\)节的容积为 L.

难度：难

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3．在等差数列{a_n}中，a₁=3，d=2．a_n=25，则n= ______ ．

难度：难

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4．等差数列8，5，2，…的前20项和是（　　）

A．410

B．-410

C．49

D．-49

难度：难

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5．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=2\)，\(S_{n}=n^{2}+n\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(\{ \dfrac {1}{S_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证\(T_{n} < 1\)．

难度：难

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6．
已知等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=3\)，\(a_{4}=24\)，
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设等差数列\(\{b_{n}\}\)中，\(b_{2}=a_{2}\)，\(b_{9}=a_{5}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

难度：难

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7．
已知\(\{a_{n}\}\)是递增的等差数列\(a_{3}= \dfrac {5}{2}\)，且\(a_{2}a_{4}=6\)．
\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}\)和公差\(d\)；
\((2)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项和前\(n\)项和\(S_{n}\)．

难度：难

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8．
已知数列\(｛a_{n}｝\)的通项公式为\({a}_{n}= \dfrac{1}{1+2+3+…+n} \)，

\((1)\)求\({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3} \)；

\((2)\)求这个数列的前\(n\)项和\(;\)

难度：难

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9．已知数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)中， \(a\)\({\,\!}_{2}=\) \(a\)\(( \)\(a\)为非零常数\()\)，其前 \(n\)项和\(S\) \({\,\!}_{n}\)满足：\(S\) \({\,\!}_{n}\)\(= \dfrac{n\left({a}_{n}-{a}_{1}\right)}{2}\left(n∈{N}^{*}\right) \)
\((1)\)求数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)的通项公式；
\((2)\)若 \(a\)\(=2\)，且\( \dfrac{1}{4} \) \(a_{m}\)\({\,\!}^{2}-S\) \({\,\!}_{n}\)\(=11\)，求 \(m\)、 \(n\)的值；

难度：难

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10．
已知在数列\(\{a_{n}\}\)中，其前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\({{S}_{n}}=2{{a}_{n}}-4\)．

\((\)Ⅰ\()\) 求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；

\((\)Ⅱ\()\) 设\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{n(n+1)\cdot {{2}^{n}}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：难

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