知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x²-2x+4，数列{a_n}是公差为d的等差数列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）S_n为{a_n}的前n项和，求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7B2%7D%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BS_%7Bn%7D%7D%E2%89%A5%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ．

难度：难

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2．已知等差数列{a_n}共有20项，所有奇数项和为132，所有偶数项和为112，则等差数列的公差d= ______ ．

难度：难

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3．在圆x²+y²=5x内，过点（ $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ）有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a₁，最大弦长为a_n，若公差d∈[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B6%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ]，那么n的取值集合为（　　）

A．{4，5，6，7}

B．{4，5，6}

C．{3，4，5，6}

D．{3，4，5}

难度：难

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4．已知数列{a_n}满足a₁=1， $a_%7Bn%2B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B2a_%7Bn%7D%2B1%7D%EF%BC%8Cn%E2%88%88N%5E%7B*%7D$ ．
（1）证明：数列 $%5C%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D%5C%7D$ 是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B2n%2B1%7D$ ，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使不等式S_n＜k对一切n∈N^*恒成立的实数k的范围．

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5．已知曲线C：y=4^x，C_n：y=4^x+n(n∈N^*)，从C上的点Q_n(x_n，y_n)作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1(x_n+1，y_n+1)，设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n= $%20%5Cfrac%20%7By_%7Bn%2B1%7D%7D%7By_%7Bn%7D%7D$
(1)求数列{x_n}的通项公式；
(2)记c_n= $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Ba_%7Bn%7Db_%7Bn%7D%7D$ ，数列{c_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与 $%20%5Cfrac%20%7B37%7D%7B32%7D$ 的大小(n∈N^*)；
(3)记d_n= $%20%5Cfrac%20%7B3%5Ctimes%205%5E%7Bn%7D%7D%7B2%5E%7Bn%2B2%7D%5Ctimes%20%28b_%7Bn%7D-1%29%7D$ ，数列{d_n}的前n项和为T_n，试证明：(2n-1)•d_n≤T_2n-1≤ $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B3%7D$ ×[1- $%28%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B8%7D%29%5E%7B2n%2B1%7D$ ]．

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6．若数列{a_n}是正项数列，且 $%20%5Csqrt%20%7Ba_%7B1%7D%7D%2B%20%5Csqrt%20%7Ba_%7B2%7D%7D%2B%5Ccdots%20%20%5Csqrt%20%7Ba_%7Bn%7D%7D$ =n²+3n，(n∈N^*)则 $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B1%7D%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B2%7D%7D%7B3%7D%2B%5Ccdots%20%2B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bn%2B1%7D$ =(　　)

A．2n²+6n

B．n²+3n

C．4(n+1)²

D．4(n+1)

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7．已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n= $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7Bn-1%7D$ a_n-1+2n•3^n-2(n≥2，n∈N^∗)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)令b_n= $%20%5Cfrac%20%7B3%5E%7Bn-1%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ (n∈N^∗)，数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S₂与n的大小；
(3)令c_n= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D$ (n∈N^*)，数列{ $%20%5Cfrac%20%7B2c_%7Bn%7D%7D%7B%28c_%7Bn%7D-1%29%5E%7B2%7D%7D$ }的前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

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8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知 $S_%7Bn%7D%3D2a_%7Bn%7D-2%5E%7Bn%2B1%7D$ (n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设 $b_%7Bn%7D%3Dlog_%7B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bn%2B1%7D%7D2$ ，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N^*且n≥2，都有 $B_%7B3n%7D-B_%7Bn%7D%3E%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7B20%7D$ 成立，求m的最大值；
(3)令 $c_%7Bn%7D%3D%28-1%29%5E%7Bn%2B1%7Dlog_%7B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bn%2B1%7D%7D2$ ，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N^*且n≥2时， $T_%7B2n%7D%3C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．

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9．已知在等差数列{a_n}中，a₃=4前7项和等于35，数列{b_n}中，点(b_n，s_n)在直线x+2y-2=0上，其中s_n是数列{b_n}的前n项和(n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)求证：数列{b_n}是等比数列；
(3)设c_n=a_n•b_n•T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n并证明； $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ ≤T_n＜ $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$ ．

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10．已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%2Bb_%7Bn%7D%7D%7B%20%5Csqrt%20%7Ba_%7Bn%7D%5E%7B2%7D%2Bb_%7Bn%7D%5E%7B2%7D%7D%7D$ ，n∈N^*，
(1)设b_n+1=1+ $%20%5Cfrac%20%7Bb_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，n∈N*，，求证：数列 $%5C%7B%28%20%5Cfrac%20%7Bb_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D%29%5E%7B2%7D%5C%7D$ 是等差数列；
(2)设b_n+1= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ • $%20%5Cfrac%20%7Bb_%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，n∈N*，且{a_n}是等比数列，求a₁和b₁的值．

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