若各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(2 \sqrt[]{S_{n}}=a_{n}+1 (n∈N*)\)．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)若正项等比数列\(\{b_{n}\}\)，满足\(b_{2}=2\)，\(2b_{7}+b_{8}=b_{9}\)，求\(T_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}\)；

\((3)\)对于\((2)\)中的\(T_{n}\)，若对任意的\(n∈N^{*}\)，不等式\(λ·(-1)^{n} < \dfrac{1}{2^{n+1}}(T_{n}+21)\)恒成立，求实数\(λ\)的取值范围．

\(《\)九章算术\(》\)中的“竹九节”问题：现有一根\(9\)节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面\(4\)节的容积共\(3L\)，下面\(3\)节的容积共\(4L\)，则第\(5\)节的容积为              L.

\(7\)月份，有一款新服装投入某市场销售，\(7\)月\(1\)日该款服装仅销售出\(3\)件，\(7\)月\(2\)日售出\(6\)件，\(7\)月\(3\)日售出\(9\)件，\(7\)月\(4\)日售出\(12\)件，以后每天售出的件数分别递增\(3\)件直到日销售量达到最大\((\)只有\(l\)天\()\)后，每天销售的件数开始下降，分别递减\(2\)件，到\(7\)月\(31\)日刚好售出\(3\)件．

    \((1)\)问\(7\)月几号该款服装销售件数最多\(?\)其最大值是多少\(?\)

    \((2)\)按规律，当该商场销售此服装达到\(200\)件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于\(20\)件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天\(?\)说明理由．

已知数列\(｛a_{n}｝\)的通项公式为\({a}_{n}= \dfrac{1}{1+2+3+…+n} \)，

\((1)\)求\({a}_{1},{a}_{2},{a}_{3} \)；    

\((2)\)求这个数列的前\(n\)项和\(;\)

设数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}+2{{a}_{2}}=2\)，且对任意的\(n\in {{N}^{*}}\)，点\({{P}_{n}}(n,{{a}_{n}})\)都有\(\overrightarrow{{{P}_{n}}{{P}_{n+1}}}=(1,2)\)，则数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为__________．

设\({{S}_{n}}\)是等差数列\(\left\{ a{}_{n} \right\}\)的前\(n\)项和，若\( \dfrac{{a}_{5}}{{a}_{3}}= \dfrac{5}{9}, \)则\( \dfrac{{S}_{9}}{{S}_{5}} =(\)   \()\)

填空题

\((1)\triangle ABC\)中，\(A={{60}^{\circ }}\)，\(b = 1\)，\({S}_{∆ABC}= \sqrt{3} \)，则\( \dfrac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}= \)________ ．

\((2)\)在公差不为\(0\)的等差数列\(\left\{{{a}_{n}}\right\} \)中，\({a}_{1}+{a}_{3}=8 \)，且\(a_{4}\)为\(a_{2}\)和\(a_{9}\)的等比中项，则\(a_{5}=\)_____．

\((3)∆ABC \)三内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，\( \sqrt{3}\sin A-a\cos B-2a=0 \)，则\(∠B= \)_______．

\((4)\)已知数列\(\left\{{{a}_{n}}\right\} \)中，\({{a}_{1}}=-60,{a}_{n+1}={a}_{n}+3 \)，则\(\left|{a}_{1}\right|+\left|{a}_{2}\right|+\left|{a}_{3}\right|+……+\left|{a}_{30}\right|= \)___________．