用分期付款的方式购买家用电器需\(11500\)元，购买当天先付\(1500\)元，以后每月交付\(500\)元，并加付利息，月利率为\(0.5\%\)，若从交付\(1500\)元后的第\(1\)个月开始算分期付款的第\(1\)个月，问：

\((1)\)分期付款的第\(10\)个月应交付多少钱？

\((2)\)全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？

设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(S_{n}=n^{2}+n\)，数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式为\(b_{n}=x^{n-1}\)．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)设\(c_{n}=a_{n}b_{n}\)，数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)．

\(①\)求\(T_{n}\)；

\(②\)若\(x=2\)，求数列\(\{\dfrac{nTn+1-2n}{{{T}_{n+2}}-2}\}\)的最小项的值．

已知数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)是等差数列，\({b}_{1}=1,{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{10}=145 \)．

\((1)\)求数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)的通项公式\({b}_{n} \)；

\((2)\)设数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项\({a}_{n}={\log }_{a}\left(1+ \dfrac{1}{{b}_{n}}\right) (\)其中\(a > 0\)且\(a\neq 1 )\)记\({S}_{n} \)是数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和，试比较\({S}_{n} \)与\(\dfrac{1}{3}{\log }_{a}{b}_{n+1} \)的大小，并证明你的结论．

在等差数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)中，\({a}_{1}=-2008 \)，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(\dfrac{{S}_{12}}{12}- \dfrac{{S}_{10}}{10}=2 \)，则\(S_{2008}\)的值等于______ ．

在等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，公差\(d=2,{{a}_{n}}=11,{{S}_{n}}=35\)，则\({{a}_{1}}\)等于\((\)  \()\)

若存在常数\(k\left( k\in {{N}^{*}},k\geqslant 2 \right)\)、\(q\)、\(d\)，使得无穷数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{n+1}}=\begin{cases} {{a}_{n}}+d,\dfrac{n}{k}\notin {{N}^{*}} \\ q{{a}_{n}},\dfrac{n}{k}\in {{N}^{*}} \\\end{cases}\)，则称数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)为“段比差数列”，其中常数\(k\)、\(q\)、\(d\)分别叫做段长、段比、段差\(.\)设数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)为“段比差数列”，它的首项、段长、段比、段差分别为\(1\)、\(3\)、\(q\)、\(3\)．

  \((1)\)当\(q=0\)时，求\({{b}_{2014}}\)，\({{b}_{2016}}\)；

  \((2)\)当\(q=1\)时，设\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(3n\)项和为\({{S}_{3n}}\)，

       \(①\)证明：\(\left\{ {{b}_{3n-1}} \right\}\)为等差数列；

       \(②\)证明：\({{b}_{3n-2}}+{{b}_{3n}}=2{{b}_{3n-1}}\)；

       \(③\)若不等式\({{S}_{3n}}\leqslant \lambda \cdot {{3}^{n-1}}\)对\(n\in {{N}^{*}}\)恒成立，求实数\(\lambda \)的取值范围；

\((1)\)求证：\(\{\)\(b_{n}\)\(\}\)是等比数列；

\((2)\)设\(c_{n}\)\(= \dfrac{a_{n}}{3n-1}\)，求证：\(\{\)\(c_{n}\)\(\}\)是等比数列．