知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(3a_{3}=7a_{6}\)，且\(a_{1}=29\)，\(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)前\(n\)项的和，若\(S_{n}\)取得最大值，则\(n=\) ______ ．

难度：难

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2．
等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和记为\(S_{n}.\)已知\(a_{10}=30\)，\(a_{20}=50\)．
\((1)\)求通项公式\(\{a_{n}\}.\)
\((2)\)求前\(n\)项和\(S_{n}\)，并求\(S_{3}\)．

难度：难

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3．
设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(S_{n}=n^{2}+n\)，数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式为\(b_{n}=x^{n-1}\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(c_{n}=a_{n}b_{n}\)，数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)．
\(①\)求\(T_{n}\)；
\(②\)若\(x=2\)，求数列\(\{\dfrac{nTn+1-2n}{{{T}_{n+2}}-2}\}\)的最小项的值．

难度：难

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4．
已知公差不为零的等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，若\({{S}_{12}}=156\)，且\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{4}}\)成等比数列

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)设数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{\left( {{a}_{n}}-1 \right)\left( {{a}_{n}}+1 \right)}\)，若数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)，求\({{T}_{n}}\)．

难度：难

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5．
\((1)\)如果函数\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+(a-4)x\)，\((a∈R)\)的导函数\(f{{'}} (x)\)是偶函数，则曲线\(y=f(x)\)在原点处的切线方程是________．
\((2)\)设\(f(x)=\begin{cases}{x}^{2},x∈[0,1] \\ \dfrac{1}{x},x∈(1,{e}^{2}]\end{cases} (\)其中\(e\)为自然对数的底数\()\)，则\(∫_{0}^{{e}^{2}}f(x)dx \)的值为________．
\((3)\)若数列\(\{a_{n}\}\)的各项按如下规律排列：\(\dfrac{2}{1}\)，\(\dfrac{3}{1}\)，\(\dfrac{3}{2}\)，\(\dfrac{4}{1}\)，\(\dfrac{4}{2}\)，\(\dfrac{4}{3}\)，\(\dfrac{5}{1}\)，\(\dfrac{5}{2}\)，\(\dfrac{5}{3}\)，\(\dfrac{5}{4}\)，\(…\)，\(\dfrac{n+1}{1}\)，\(\dfrac{n+1}{2}\)，\(…\)，\(\dfrac{n+1}{n}\)，\(…\)，则\(a_{2018}\)等于________．
\((4)\)已知函数\(f(x)=(x^{2}-3)e^{x}\)，设关于\(x\)的方程\(f^{2}(x)-af(x)=0(a∈R)\)有\(3\)个不同的实数解，则\(a\)的取值范围是________．

难度：难

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6．

已知\(S\)\({\,\!}_{n}\)是等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和，\({{S}_{3}}=\dfrac{7}{2},{{S}_{6}}=\dfrac{63}{16}\)，\(.\)

\((1)\)求\({{a}_{n}}\)；

\((2)\)若\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{n}}}+n\)，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．

难度：难

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7．

\((1)\)在\({ΔABC}\)中，角\(A{,}B{,}C\)对边的边分别是\(a{,}b{,}c\)，已知\(c{=}2{,}C{=}\dfrac{\pi}{3}{,}{ΔABC}\)的面积等于\(\sqrt{3}\)，则\({ΔABC}\)的周长是 _________

\((2)\)已知直线\(l{:}\dfrac{x}{a}{+}\dfrac{y}{b}{=}1(a{ > }0{,}b{ > }0)\)经过点\((3{,}2)\)，则\(a{+}b\)的最小值为_______．

\((3)\)某人向边长分别为\(5\)，\(12\)，\(13\)的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于\(2\)的地方的概率为__　\(.\)

\((4)\)已知\(S_{n}\)是等差数列\(\{a_{n}\}(n\)属于\(N_{+})\)的前\(n\)项和，且\(S_{6} > S_{7} > S_{5}\)，有下列四个命题：

\(①d < 0\)；\(②S_{11} > 0\)；\(③S_{12} < 0\)；\(④\)数列\(\{S_{n}\}\)中的最大项为\(S_{11}\)．

其中正确命题的序号是________．

难度：难

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8．已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{4}=9\)，\(S_{3}=15\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式及\(S_{n}\)；
\((2)\)设数列\(\left\{ \dfrac{1}{{{S}_{n}}} \right\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，证明：\(T{}_{n} < \dfrac{3}{4}\)．

难度：难

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9．

已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前三项为\(a-1\)，\(4\)，\(2a\)，记前\(n\)项和为\(S_{n}\)，公差为\(d\)。

\((\)Ⅰ\()\)设\(S_{k}=2550\)，求\(a\)和\(k\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{{{d}^{{{a}_{n}}}}}{({{d}^{{{a}_{n+1}}}}-d)({{d}^{{{a}_{n+2}}}}-d)}\)，求数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．

难度：难

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10．已知单调递增的等比数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)中， \(a\)\({\,\!}_{2}+\) \(a\)\({\,\!}_{3}+\) \(a\)\({\,\!}_{4}=28\)，且 \(a\)\({\,\!}_{3}+2\)是 \(a\)\({\,\!}_{2}\)， \(a\)\({\,\!}_{4}\)的等差中项，
\((1)\)求 \(a_{n}\)
\((2)\)设 \(b_{n}\)\(=\) \(lo\) \(a_{n}\)，\(S\) \({\,\!}_{n}\)\(=\) \(b\)\({\,\!}_{1}+\) \(b\)\({\,\!}_{2}+…+\) \(b_{n}\)，求\(S\) \({\,\!}_{n}\)．

难度：难

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