若各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(2 \sqrt[]{S_{n}}=a_{n}+1 (n∈N*)\)．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)若正项等比数列\(\{b_{n}\}\)，满足\(b_{2}=2\)，\(2b_{7}+b_{8}=b_{9}\)，求\(T_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}\)；

\((3)\)对于\((2)\)中的\(T_{n}\)，若对任意的\(n∈N^{*}\)，不等式\(λ·(-1)^{n} < \dfrac{1}{2^{n+1}}(T_{n}+21)\)恒成立，求实数\(λ\)的取值范围．

用分期付款的方式购买家用电器需\(11500\)元，购买当天先付\(1500\)元，以后每月交付\(500\)元，并加付利息，月利率为\(0.5\%\)，若从交付\(1500\)元后的第\(1\)个月开始算分期付款的第\(1\)个月，问：

\((1)\)分期付款的第\(10\)个月应交付多少钱？

\((2)\)全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？

已知数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)是等差数列，\({b}_{1}=1,{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{10}=145 \)．

\((1)\)求数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)的通项公式\({b}_{n} \)；

\((2)\)设数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项\({a}_{n}={\log }_{a}\left(1+ \dfrac{1}{{b}_{n}}\right) (\)其中\(a > 0\)且\(a\neq 1 )\)记\({S}_{n} \)是数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和，试比较\({S}_{n} \)与\(\dfrac{1}{3}{\log }_{a}{b}_{n+1} \)的大小，并证明你的结论．

在等差数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)中，\({a}_{1}=-2008 \)，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(\dfrac{{S}_{12}}{12}- \dfrac{{S}_{10}}{10}=2 \)，则\(S_{2008}\)的值等于______ ．

等差数列\(｛a_{n}｝\)中，\(S_{n}\)是它的前\(n\)项之和，且\(S_{6} < S_{7}\)，\(S_{7} > S_{8}\)，则

\(①\)比数列的公差\(d < 0\)         \(②S_{9}\)一定小于\(S_{6}\)

\(③a_{7}\)是各项中最大的一项      \(④S_{7}\)一定是\(S_{n}\)中的最大值

其中正确的是              \((\)填入你认为正确的所有序号\()\)

\((1)\)求证：\(\{\)\(b_{n}\)\(\}\)是等比数列；

\((2)\)设\(c_{n}\)\(= \dfrac{a_{n}}{3n-1}\)，求证：\(\{\)\(c_{n}\)\(\}\)是等比数列．