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          共50条信息

            • 1．

              在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{{1}}}{+2}{{a}_{2}}+{{2}^{2}}{{a}_{3}}+\cdots +{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}=(n\cdot {{2}^{n}}-{{2}^{n}}+1)\ t\)对任意\(n\in {{N}^{*}}\)成立，其中常数\(t > 0.\)若关于\(n\)的不等式\(\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{4}}}+\dfrac{1}{{{a}_{8}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{{{2}^{n}}}}} > \dfrac{m}{{{a}_{1}}}\)的解集为\(\{n|n\geqslant 4,n\in {{N}^{*}}\}\)，则实数\(m\)的取值范围是                   ．

              难度：难
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            • 2．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，且满足\(2a_{n+1}+S_{n}=2(n∈N^{*})\)，则满足\(\dfrac{1\mathrm{\ }001}{1\mathrm{\ }000} < \dfrac{S_{2n}}{S_{n}} < \dfrac{11}{10}\)的\(n\)的最大值为              \(.\) 

              难度：难
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            • 3． 已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，若\(3{{S}_{n}}=2{{a}_{n}}-3n\)，则\({{a}_{2018}}=\)

              A．\({{2}^{2018}}-1\)
              B．\({{3}^{2018}}-6\)
              C．\({{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2018}}-\dfrac{7}{2}\)
              D．\({{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2018}}-\dfrac{10}{3}\) 
              难度：难
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            • 4． 设数列\(\{a_{n}\}\)为等比数列，则下面四个数列：\(①\{a_{n}^{3}\}\)；\(②\{pa_{n}\}(p\)是非零常数\()\)；\(③\{a_{n}·a_{n+1}\}\)；\(④\{a_{n}+a_{n+1}\}.\)其中等比数列的个数为  \((\)　　\()\)
              A．\(1\)
              B．\(2\)
              C．\(3\)
              D．\(4\)
              难度：难
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            • 5．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项的和\(S_{n}\)，满足\(\dfrac{3}{2}{{a}_{n}}={{S}_{n}}+2+{{(-1)}^{n}}(n\in {{N}^{*}})\) ．

              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式．

              \((2)\)设\({T}_{n}= \dfrac{1}{{a}_{1}}+ \dfrac{1}{{a}_{2}}+ \dfrac{1}{{a}_{3}}+⋯+ \dfrac{1}{{a}_{n}} \) ，是否存在正整数\(k\)，使得当\(n\geqslant 3\)时，\({{T}_{n}}\in \left( \dfrac{k}{10},\dfrac{k+1}{10} \right)\) 如果存在，求出\(k\)；如果不存在，请说明理由\(.\) 

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            • 6．

              设数列\(1\)，\(1+2\)，\(1+2+2^{2}\)，\(…\)，\(1+2+2^{2}+…+2^{n-1}\)，\(\cdots \)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则\(S_{10}=\)________．

              难度：难
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            • 7． 设\(\{a_{n}\}\)是公比为\(q\)的等比数列，则“\(q > 1\)”是“\(\{a_{n}\}\)为递增数列”的\((\)　　\()\)
              A．充分而不必要条件
              B．必要而不充分条件
              C．充分必要条件
              D．既不充分也不必要条件
              难度：难
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            • 8．
              已知正项等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(S_{4}=1\)，\(S_{8}=17\)， \({a}_{n}= \)                       
              难度：难
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            • 9．

              已知数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}{,}a_{1}{=}\dfrac{1}{2}{,}2a_{n{+}1}{=}S_{n}{+}1\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求\(a_{2}{,}a_{3}\)的值；

              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}{=}2a_{n}{-}2n{-}1\)，求数列\(\{ b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

              难度：难
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            • 10． 数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)的前 \(n\)项和为 \(S_{n}\)， \(a\)\({\,\!}_{1}=1\)， \(S_{n}\)\({\,\!}_{+1}=4\) \(a_{n}\)\(+2( \)\(n\)\(∈N^{*})\)，设 \(b_{n}\)\(=\) \(a_{n}\)\({\,\!}_{+1}-2\) \(a_{n}\)．

              \((1)\)求证：\(\{\)\(b_{n}\)\(\}\)是等比数列；

              \((2)\)设\(c_{n}\)\(= \dfrac{a_{n}}{3n-1}\)，求证：\(\{\)\(c_{n}\)\(\}\)是等比数列．

              难度：难
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