设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(S_{n}=n^{2}+n\)，数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式为\(b_{n}=x^{n-1}\)．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)设\(c_{n}=a_{n}b_{n}\)，数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)．

\(①\)求\(T_{n}\)；

\(②\)若\(x=2\)，求数列\(\{\dfrac{nTn+1-2n}{{{T}_{n+2}}-2}\}\)的最小项的值．

公差不为零的等差数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{3}}=7\)，又\({{a}_{2}},{{a}_{4}},{{a}_{9}}\)成等比数列．

\((1)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式．

\((2)\)设\({{b}_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}}}\)，求数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)．

\(21.\)在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{1}}=1\)，\({{a}_{2}}=3\)，\({{a}_{n+2}}=3{{a}_{n+1}}-2{{a}_{n}}\)，\(n\in {{N}^{*}}\)。

\((1)\)证明数列\(\left\{ {{a}_{n+1}}-{{a}_{n}} \right\}\)是等比数列，并求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=2{lo}{{{g}}_{2}}\left( {{a}_{n}}+1 \right)-1\)，\({{c}_{n}}=\dfrac{\left( {{a}_{n}}+1 \right)\left( 3-2n \right)}{{{b}_{n}}\bullet {{b}_{n+1}}}\)，求数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)．

填空题。

\((1)\)求经过点\((-2,2)\)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为\(1\)的直线\(l\)的方程____________．

\((2)《\)算法通宗\(》\)是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的\(2\)倍，已知这座塔共有\(381\)盏灯，请问塔顶有几盏灯？”答____盏

\((3)\)已知直线\(y=kx-k+1 \)恒过定点\(A\)，若点\(A\)在直线\(mx+ny-1=0(mn > 0) \)上，则\( \dfrac{1}{m}+ \dfrac{1}{n} \)的最小值为       ．

\((4)\)在\(\Delta ABC\)中，\(a,b,c \)是角\(A,B,C \)的对边，则下列结论正确的序号是_______．

\(①\) 若\(a,b,c \)成等差数列，则\({B}=\dfrac{\pi }{3}\)；              

\(②\) 若\(c=4,b=2 \sqrt{3},B= \dfrac{π}{6} \)，则\(\Delta ABC\)有两解；

\(③\) 若\(b=1,ac=2 \sqrt{3},B= \dfrac{π}{6} \)，则\(a+c=2+\sqrt{3}\)；    

\(④\)若\((2c-b)\cos A=a\cos B\)，则\(A=\dfrac{\pi }{6}\)．

设数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，且满足\(a_{2n+1}=2a_{2n-1}\)，\(a_{2n}=a_{2n-1}+1\)，则数列\(\{a_{n}\}\)的前\(20\)项和\(S_{20}=\)

\(.\)在等比数列\(\{an\}\)中，若\({a}_{1}= \dfrac{1}{2} \)，\(a_{4}=-4\)，则\(|{a}_{1}|+|{a}_{2}|+⋯|{a}_{n}|= \)________．

已知等比数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和记为\({{S}_{n}},\)  \(a\)\({\,\!}_{3}=3\) ， \(a\)\({\,\!}_{10}=384\)．求该数列的公比\(q\)和通项公式\(S\)\({\,\!}_{n}\)