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          共50条信息

            • 1．

              在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{{1}}}{+2}{{a}_{2}}+{{2}^{2}}{{a}_{3}}+\cdots +{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}=(n\cdot {{2}^{n}}-{{2}^{n}}+1)\ t\)对任意\(n\in {{N}^{*}}\)成立，其中常数\(t > 0.\)若关于\(n\)的不等式\(\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{4}}}+\dfrac{1}{{{a}_{8}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{{{2}^{n}}}}} > \dfrac{m}{{{a}_{1}}}\)的解集为\(\{n|n\geqslant 4,n\in {{N}^{*}}\}\)，则实数\(m\)的取值范围是                   ．

              难度：难
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            • 2．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，且满足\(2a_{n+1}+S_{n}=2(n∈N^{*})\)，则满足\(\dfrac{1\mathrm{\ }001}{1\mathrm{\ }000} < \dfrac{S_{2n}}{S_{n}} < \dfrac{11}{10}\)的\(n\)的最大值为              \(.\) 

              难度：难
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            • 3．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项的和\(S_{n}\)，满足\(\dfrac{3}{2}{{a}_{n}}={{S}_{n}}+2+{{(-1)}^{n}}(n\in {{N}^{*}})\) ．

              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式．

              \((2)\)设\({T}_{n}= \dfrac{1}{{a}_{1}}+ \dfrac{1}{{a}_{2}}+ \dfrac{1}{{a}_{3}}+⋯+ \dfrac{1}{{a}_{n}} \) ，是否存在正整数\(k\)，使得当\(n\geqslant 3\)时，\({{T}_{n}}\in \left( \dfrac{k}{10},\dfrac{k+1}{10} \right)\) 如果存在，求出\(k\)；如果不存在，请说明理由\(.\) 

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            • 4．

              设数列\(1\)，\(1+2\)，\(1+2+2^{2}\)，\(…\)，\(1+2+2^{2}+…+2^{n-1}\)，\(\cdots \)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则\(S_{10}=\)________．

              难度：难
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            • 5．
              已知正项等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(S_{4}=1\)，\(S_{8}=17\)， \({a}_{n}= \)                       
              难度：难
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            • 6．

              等比数列\(\{{a}_{n} \}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，\({{a}_{1}}=2\)，\({{a}_{n}} > 0(n\in {{N}^{*}})\)，\({{S}_{6}}+{{a}_{6}}\)是\({{S}_{4}}+{{a}_{4}}\)，\({{S}_{5}}+{{a}_{5}}\)的等差中项．

              \((1)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

              \((2)\)设\({b}_{n}={\log }_{ \frac{1}{2}}({a}_{2n−1}) \)，数列\(\{\dfrac{2}{{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}}\}\)的前\(n\)项和为\({{T}_{n}}\)，求\({{T}_{n}}\)．

              难度：难
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            • 7．

              已知数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}{,}a_{1}{=}\dfrac{1}{2}{,}2a_{n{+}1}{=}S_{n}{+}1\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求\(a_{2}{,}a_{3}\)的值；

              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}{=}2a_{n}{-}2n{-}1\)，求数列\(\{ b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

              难度：难
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            • 8．

              在\(《\)增删算法统宗\(》\)中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关\(.\)”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程\(.\)则下列说法错误的是(    )


              A．此人第二天走了九十六里路
              B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
              C．此人第三天走的路程占全程的\( \dfrac{1}{8}\)
              D．此人后三天共走了四十二里路
              难度：难
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            • 9． 已知数列\(\{ \)\(a\) \({\,\!}_{n}\)\(\}\)的前 \(n\)项和 \(S\) \({\,\!}_{n}\)\(=\) \(p\) \({\,\!}^{n}\)\(+\) \(q\)\(( \)\(p\)\(\neq 0\)，且 \(p\)\(\neq 1)\)，求证：数列\(\{ \)\(a\) \({\,\!}_{n}\)\(\}\)为等比数列的充要条件为 \(q\)\(=-1\)．
              难度：难
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            • 10．

              ．已知各项均为正数的等比数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(S_{n}=\)\(2\)，\(S\)3\(n\)\(=\)\(14\)，则\(S\)4\(n\)\(=\)\((\) \()\)

              A．\(80\)                      
              B．\(26\)                 
              C．\(30\)                 
              D．\(16\)
              难度：难
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