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          共50条信息

            • 1．
              在等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}⋅a_{3}=2a_{1}\)，且\(a_{4}\)与\(2a_{7}\)的等差中项为\(17\)，设\(b_{n}=a_{2n-1}-a_{2n}\)，\(n∈N*\)，则数列\(\{b_{n}\}\)的前\(2n\)项和为 ______ ．
              难度：难
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            • 2．
              我国古代数学著作\(《\)九章算术\(》\)有如下问题：“今有蒲\((\)水生植物名\()\)生一日，长三尺；莞\((\)植物名，俗称水葱、席子草\()\)生一日，长一尺\(.\)蒲生日自半，莞生日自倍\(.\)问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长\(1\)日，长为\(3\)尺；莞生长\(1\)日，长为\(1\)尺\(.\)蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加\(1\)倍\(.\)若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 ______ 日\(.(\)结果保留一位小数，参考数据：\(\lg 2≈0.30\)，\(\lg 3≈0.48)\)
              难度：难
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            • 3．

              在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{{1}}}{+2}{{a}_{2}}+{{2}^{2}}{{a}_{3}}+\cdots +{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}=(n\cdot {{2}^{n}}-{{2}^{n}}+1)\ t\)对任意\(n\in {{N}^{*}}\)成立，其中常数\(t > 0.\)若关于\(n\)的不等式\(\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{4}}}+\dfrac{1}{{{a}_{8}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{{{2}^{n}}}}} > \dfrac{m}{{{a}_{1}}}\)的解集为\(\{n|n\geqslant 4,n\in {{N}^{*}}\}\)，则实数\(m\)的取值范围是                   ．

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            • 4．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，且满足\(2a_{n+1}+S_{n}=2(n∈N^{*})\)，则满足\(\dfrac{1\mathrm{\ }001}{1\mathrm{\ }000} < \dfrac{S_{2n}}{S_{n}} < \dfrac{11}{10}\)的\(n\)的最大值为              \(.\) 

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            • 5．

              若等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，公比为\(2\)，且\({{a}_{1}}\cdot {{a}_{2}}\cdot {{a}_{3}}\cdot ...\cdot {{a}_{30}}={{2}^{60}}\)，那么\({{a}_{1}}\cdot {{a}_{4}}\cdot {{a}_{7}}\cdot ...\cdot {{a}_{28}}=(\)    \()\)

              A．\({2}^{10} \)
              B．\({2}^{15} \)
              C．\({2}^{20} \)
              D．\({2}^{25} \)
              难度：难
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            • 6．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}=3\)， \({{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}\left( 3n+1 \right)\)．

              \((1)\)求证：数列\(\left\{ {{a}_{n}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}n \right\}\)是等比数列；

              \((2)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(10\)项和\({{S}_{10}}\)．

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            • 7．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项的和\(S_{n}\)，满足\(\dfrac{3}{2}{{a}_{n}}={{S}_{n}}+2+{{(-1)}^{n}}(n\in {{N}^{*}})\) ．

              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式．

              \((2)\)设\({T}_{n}= \dfrac{1}{{a}_{1}}+ \dfrac{1}{{a}_{2}}+ \dfrac{1}{{a}_{3}}+⋯+ \dfrac{1}{{a}_{n}} \) ，是否存在正整数\(k\)，使得当\(n\geqslant 3\)时，\({{T}_{n}}\in \left( \dfrac{k}{10},\dfrac{k+1}{10} \right)\) 如果存在，求出\(k\)；如果不存在，请说明理由\(.\) 

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            • 8．

              设数列\(1\)，\(1+2\)，\(1+2+2^{2}\)，\(…\)，\(1+2+2^{2}+…+2^{n-1}\)，\(\cdots \)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则\(S_{10}=\)________．

              难度：难
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            • 9．

              若等比数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}={{4}^{n+1}}+a\)，则实数\(a\)的取值是\((\)     \()\)．

              A．\(-4\)          
              B．\(4\)　             
              C．\(-1\)              
              D．\(\dfrac{1}{4}\)
              难度：难
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            • 10． 已知数列\(\{ a_{n}\}\)满足\(a_{1}{=}1{,}a_{n}{=}2a_{n{-}1}{+}1{,}(n{ > }1)\)
              \((1)\)求数列\(\{ a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)求数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和．
              难度：难
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