已知在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+n-1(n∈N*)\)，则其前\(n\)项和\(S_{n}=\)________．

设数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项的和为\({{S}_{n}}\)，点\((n,{{S}_{n}})\)在函数\(f(x)=2{{x}^{2}}\)的图象上，数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足：\({{b}_{1}}={{a}_{1}},{{b}_{n+1}}({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}})={{b}_{n}}.\)其中\(n\in {{N}^{*}}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)和\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)设\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}\)，求证：数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项的和\({{T}_{n}} > \dfrac{5}{9}(n\in {{N}^{*}}).\)

设数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，已知\(\dfrac{{{S}_{n}}}{2}={{a}_{n}}-{{2}^{n}} (\)\(n\)\(∈N*)\)．

\((1)\)求\({{a}_{1}}\)的值，若\({{a}_{n}}={{2}^{n}}{{c}_{n}}\)，证明数列\(\{{{c}_{n}}\}\)是等差数列；

\((2)\)设\({{b}_{n}}={{\log }_{2}}{{a}_{n}}-{{\log }_{2}}(n+1)\)，数列\(\{\dfrac{1}{{{b}_{n}}}\}\)的前\(n\)项和为\({{B}_{n}}\)，若存在整数\(m\)，使对任意\(n\)\(∈\)\(N\)\(*\)且\(n\)\(\geqslant 2\)，都有\({{B}_{3n}}-{{B}_{n}} > \dfrac{m}{20}\)成立，求\(m\)的最大值．

已知数列\(\{b_{n}\}\)是首项为\(2\)且公比为\(q\)的等比数列，数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=3q\)，\(a_{n+1}-qb_{n+1}=a_{n}-qb_{n}(n∈N^{*}).\)

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)若\(q= \dfrac{1}{2} \)，数列\(\{b_{n}\}\)前\(n\)项和为\(S_{n}\)，求所有满足等式\( \dfrac{{S}_{n}-m}{{S}_{n+1}-m}= \dfrac{1}{{b}_{m}+1} \)成立的正整数\(m\)，\(n\)；

\((3)\)若\(q < 0\)，且对任意\(m\)，\(n∈N^{*}\)，都有\( \dfrac{{a}_{m}}{{a}_{n}}∈\left( \dfrac{1}{6},6\right) \)，求实数\(q\)的取值范围．