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          共50条信息

            • 1．
              数列\(\{a_{n}\}\)中，已知对任意\(n∈N^{*}\)，\(a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}=3^{n}-1\)，则\(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+…+a_{n}^{2}=\) ______ ．
              难度：难
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            • 2．

              设数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和为\({S}_{n}=2{n}^{2} \) ，数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)为等比数列，且\({a}_{1}={b}_{1},{b}_{2}\left({a}_{2}-{a}_{1}\right)={b}_{1} \)

              \((1)\)求数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)和\(\left\{{b}_{n}\right\} \)的通项公式．

              \((2)\)设\({c}_{n}= \dfrac{{a}_{n}}{{b}_{n}} \) ，求数列\(\left\{{c}_{n}\right\} \)的前\(n \)项和\({T}_{n} \) ．

              难度：难
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            • 3．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}=3\)， \({{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}\left( 3n+1 \right)\)．

              \((1)\)求证：数列\(\left\{ {{a}_{n}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}n \right\}\)是等比数列；

              \((2)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(10\)项和\({{S}_{10}}\)．

              难度：难
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            • 4．

              设数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项为\({{S}_{n}}\)，点\(\left( n,\dfrac{{{S}_{n}}}{n} \right),\,\left( n\in {{N}^{*}} \right)\)均在函数\(y=3x-2\)的图象上．

              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式。

              \((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{3}{{{a}_{n}}\cdot {{a}_{n+1}}}\)，\(T_{n}\)为数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和，求使得\({{T}_{n}} < \dfrac{m}{20}\)对所有\(n\in {{N}^{*}}\)都成立的最小正整数\(m\)．

              难度：难
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            • 5．
              已知等比数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}= \dfrac {1}{2},2a_{3}=a_{2}\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若等差数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，满足\(b_{1}=1\)，\(S_{3}=b_{2}+4\)，求数列\(\{a_{n}⋅b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：难
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            • 6．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}=a(a\)为非零常数\()\)，其前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}= \dfrac {n(a_{n}-a_{1})}{2}(n∈N^{*})\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若\(a=2\)，且\( \dfrac {1}{4}a_{m}^{2}-S_{n}=11\)，求\(m\)、\(n\)的值；
              \((3)\)是否存在实数\(a\)、\(b\)，使得对任意正整数\(p\)，数列\(\{a_{n}\}\)中满足\(a_{n}+b\leqslant p\)的最大项恰为第\(3p-2\)项？若存在，分别求出\(a\)与\(b\)的取值范围；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 7．
              已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)和为\(S_{n}\)，\(a_{5}=9\)，\(S_{5}=25\)，
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}a_{n+1}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(100\)项和．
              难度：难
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            • 8．
              已知正项等比数列\(\{b_{n}\}(n∈N_{+})\)中，公比\(q > 1\)，\(b_{3}+b_{5}=40\)，\(b_{3}b_{5}=256\)，\(a_{n}=\log _{2}b_{n}+2\)．
              \((1)\)求证：数列\(\{a_{n}\}\)是等差数列；
              \((2)\)若\(c_{n}= \dfrac {1}{a_{n}\cdot a_{n+1}}\)，求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：难
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            • 9．

              已知首项为\(\begin{matrix} & \dfrac{1}{2} \\ & \\ \end{matrix}\)的等比数列\(\{a\)\(n\)\(\}\)是递减数列，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{1}+a_{1}\)，\(S_{2}+a_{2}\)，\(S_{3}+a_{3\;\;\;\;\;\;\;}\)成等差数列．

              \((\)Ⅰ\()\) 求数列\(\{a\)\(n\)\(\}\)的通项公式；

              \((\)Ⅱ\()\) 若\({b}_{n}={a}_{n}·{\log }_{2}{a}_{n} \)数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求满足不等式\( \dfrac{{T}_{n}+2}{n+2}\geqslant \dfrac{1}{16} \)的最大\(n\)值．

              难度：难
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            • 10．

              在等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}=5\)，\(a_{5}=11\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{2}+a_{n}\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项公式；

              \((\)Ⅱ\()\)求数列\(\left\{ \dfrac{1}{{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}} \right\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

              难度：难
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