已知数列\(\left\{{a}_{n}\right\},\left\{{b}_{n}\right\} \)满足：\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{1}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{n}}}\)，\(n\in {{{N}}^{*}}\)．

\((1)\)设\({{a}_{n}}=\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\)，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{c}_{n}}={{b}_{1}}\cdot {{b}_{2}}\cdot \ \cdots \ \cdot {{b}_{n}}\)，且\({{b}_{n}}+{{c}_{n}}=1\)，\(n\in {{{N}}^{*}}\)．

         \(①\) 求证：数列\(\left\{ \dfrac{1}{{{c}_{n}}} \right\}\)为等差数列；

     \(②\) 求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式．

已知\(\triangle ABC\)的三边长成公差为\(4\)的等差数列，且最大角的正弦值为\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，则这个三角形的面积是 \((\)   \()\)

已知各项都是正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\({{S}_{n}}=a_{n}^{2}+\dfrac{1}{2}{{a}_{n}}\)，\(n∈N*\)．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)设数列\(\{b_{n}\}\)满足：\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{n}}\cdot {{a}_{n+1}}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)；

\((1)\)不等式\(\dfrac{1}{x} < 1\)的解集是________．

\((2)\)已知\(a\)，\(b\)是互异的正数，\(A\)是\(a\)，\(b\)的等差中项，\(G\)是\(a\)，\(b\)的正的等比中项，则\(A\)________\(G( > , < ,\geqslant ,\leqslant \)选填其中一个\()\)．

\((3)\)已知\(\sin (60{}^\circ +\alpha )=\dfrac{5}{13}\)，\(30^{\circ} < a < 120^{\circ}\)，则\(\cos α=\)________．

\((4)\)如图在正方体\(ABCD—A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，给出以下结论

\(①A_{1}C_{1}\)与平面\(A_{1}B_{1}CD\)成\(45^{\circ}\)角；

\(②CD_{1}\)与\(BC_{1}\)成\(60^{\circ}\)角；

\(③{{V}_{B1}}_{-{{A}_{1}}B{{C}_{1}}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{B}}{{_{1}}_{-A{{D}_{1}}C}}\)；

\(④\)正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表而积之比为\(1︰2︰3\)其中正确的结论序号是________\(.(\)写出所有正确结论的序号\()\)

设数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，已知\(\dfrac{{{S}_{n}}}{2}={{a}_{n}}-{{2}^{n}} (\)\(n\)\(∈N*)\)．

\((1)\)求\({{a}_{1}}\)的值，若\({{a}_{n}}={{2}^{n}}{{c}_{n}}\)，证明数列\(\{{{c}_{n}}\}\)是等差数列；

\((2)\)设\({{b}_{n}}={{\log }_{2}}{{a}_{n}}-{{\log }_{2}}(n+1)\)，数列\(\{\dfrac{1}{{{b}_{n}}}\}\)的前\(n\)项和为\({{B}_{n}}\)，若存在整数\(m\)，使对任意\(n\)\(∈\)\(N\)\(*\)且\(n\)\(\geqslant 2\)，都有\({{B}_{3n}}-{{B}_{n}} > \dfrac{m}{20}\)成立，求\(m\)的最大值．

已知等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)，满足\({{S}_{3}}=0,{{S}_{5}}=-5\)，则数列\(\left\{ \dfrac{1}{{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n+1}}} \right\}\)的前\(50\)项和\({{T}_{50}}=\) __________．