\((1)\)在\(\triangle ABC\)中，已知\(a=x,b=2,B=60^{\circ}\)，如果\(\triangle ABC\) 两组解，则\(x\)的取值范围是_________

\((2).\)一凸\(n\)边形，各内角的度数成等差数列，公差是\({{10}^{\circ }}\)，最小内角是\({{100}^{\circ }}\)，则边数\(n=\)______________

\((3).\)有一解三角形的题因纸张破损，有一条件不清，且具体如下：在\(\Delta ABC\)中，已知\(a=\sqrt{3}{{,}^{{}}}B={{45}^{\circ }}\)，____________，求角\(A.\) 经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示\(A=60^{\circ}\)，试将条件补充完整．

\((4).\)一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前\(100\)个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是_________\((\)可以用指数表示\()\)

若各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(2 \sqrt[]{S_{n}}=a_{n}+1 (n∈N*)\)．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)若正项等比数列\(\{b_{n}\}\)，满足\(b_{2}=2\)，\(2b_{7}+b_{8}=b_{9}\)，求\(T_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}\)；

\((3)\)对于\((2)\)中的\(T_{n}\)，若对任意的\(n∈N^{*}\)，不等式\(λ·(-1)^{n} < \dfrac{1}{2^{n+1}}(T_{n}+21)\)恒成立，求实数\(λ\)的取值范围．

设数列\(\{a_{n}\}\)为等差数列，数列\(\{b_{n}\}\)为等比数列\(.\)若\(a_{1} < a_{2}\)，\(b_{1} < b_{2}\)，且\({b}_{i}={{a}_{i}}^{2}(i=1,2,3) \)，则数列\(\{b_{n}\}\)的公比为________．

给出下列四个关于数列命题：

\((1)\)若\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)是等差数列，则三点\(\left( 10,\dfrac{{{S}_{10}}}{10} \right)\)、\(\left( 100,\dfrac{{{S}_{100}}}{100} \right)\)、\(\left( 110,\dfrac{{{S}_{110}}}{110} \right)\)共线；

\((2)\)若\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)是等比数列，则\({{S}_{m}}\)、\({{S}_{2m}}-{{S}_{m}}\)、\({{S}_{3m}}-{{S}_{2m}}\) \((m\in {{N}^{*}})\)也是等比数列；

\((3)\)等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，若对任意的\(n\in {{N}^{*}}\)，点\(\left(n,{S}_{n}\right) \)均在函数\(y={{b}^{x}}+r\) \((b\ne 0,b\ne {1}, b.r\)均为常数\()\)的图象上，则\(r\)的值为\(-{1}\)．

\((4)\)对于数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)，定义数列\(\left\{{a}_{n+1}-{a}_{n}\right\} \)为数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的“差数列”，若\({{a}_{{1}}}{=2}\)，\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的“差数列”的通项为\({{{2}}^{n}}\)，则数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\) \(={{2}^{n+1}}-2\)

其中正确命题的个数是\((\)      \()\)

已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}+2n=3n^{2}\)．

\((1)\)求证：数列\(\{a_{n}\}\)为等差数列；

\((2)\)若\({{b}_{n}}=\dfrac{3}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)前\(n\)项和\(T_{n}\)．