知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．
已知数列\(\{\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1,a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{a_{n}+2}\)，\(b_{n+1}=(n-λ)( \dfrac {1}{a_{n}}+1)(n∈N^{*}),b_{1}=-λ\)．
\((1)\)求证：数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}+1\}\)是等比数列；
\((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)是单调递增数列，求实数\(λ\)的取值范围．

难度：难

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4．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，且满足\(2a_{n+1}+S_{n}=2(n∈N^{*})\)，则满足\(\dfrac{1\mathrm{\ }001}{1\mathrm{\ }000} < \dfrac{S_{2n}}{S_{n}} < \dfrac{11}{10}\)的\(n\)的最大值为 \(.\)

难度：难

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5．
已知\({S}_{n} \)是公差不为\(0\)的等差数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和，\({S}_{5}=35 \)，\({a}_{1},{a}_{4},{a}_{13} \)成等比数列．

\((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)求数列\(\left\{ \dfrac{1}{{S}_{n}}\right\} \)的前\(n\)项和\({T}_{n} \)．

难度：难

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6．
设数列\(\{a_{n}\}\)为等差数列，数列\(\{b_{n}\}\)为等比数列\(.\)若\(a_{1} < a_{2}\)，\(b_{1} < b_{2}\)，且\({b}_{i}={{a}_{i}}^{2}(i=1,2,3) \)，则数列\(\{b_{n}\}\)的公比为________．

难度：难

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7．

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{1}}=3\)， \({{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}\left( 3n+1 \right)\)．

\((1)\)求证：数列\(\left\{ {{a}_{n}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}n \right\}\)是等比数列；

\((2)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(10\)项和\({{S}_{10}}\)．

难度：难

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8．

若等比数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}={{4}^{n+1}}+a\)，则实数\(a\)的取值是\((\) \()\)．

A．\(-4\)

B．\(4\)　

C．\(-1\)

D．\(\dfrac{1}{4}\)

难度：难

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9．已知数列\(\{ a_{n}\}\)满足\(a_{1}{=}1{,}a_{n}{=}2a_{n{-}1}{+}1{,}(n{ > }1)\)
\((1)\)求数列\(\{ a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)求数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和．

难度：难

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10．已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\({{a}_{1}}=2\)，对任意\(n\geqslant 2,n\in {{N}^{*}}\)，点\(\left({a}_{n},{S}_{n-1}\right) \)都在函数\(f(x)=x-2\)的图象上．
\((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{2}{{{\log }_{2}}{{a}_{4n-3}}{{\log }_{2}}{{a}_{4n+1}}}\)，\({{T}_{n}}\)是数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和，是否存在最大的正整数\(k\)，使得对于任意的正整数\(n\)，有\({{T}_{n}} > \dfrac{k}{20}\)恒成立？若存在，求出\(k\)的值；若不存在，说明理由．

难度：难

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