知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\) 的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=λ\) \((\) \(λ > 0\) \()\)，\(a_{n+1}=2 \sqrt {S_{n}}+1\) \((n∈N*)\)．
\((I)\)求 \(λ\) 的值；
\((II)\)求数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}a_{n+1}}\}\) 的前 \(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：难

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2．
已知\(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，若\(S\;_{n}=2^{n}-1\)，则\(a_{4}=\)______ ．

难度：难

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3．
设数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=3a_{n}\)，\(n∈N_{+}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式及前\(n\)项和\(S_{n}\)；
\((\)Ⅱ\()\)已知\(\{b_{n}\}\)是等差数列，且满足\(b_{1}=a_{2}\)，\(b_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式．

难度：难

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4．
已知数列\(\{\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1,a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{a_{n}+2}\)，\(b_{n+1}=(n-λ)( \dfrac {1}{a_{n}}+1)(n∈N^{*}),b_{1}=-λ\)．
\((1)\)求证：数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}+1\}\)是等比数列；
\((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)是单调递增数列，求实数\(λ\)的取值范围．

难度：难

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5．

数列\({{A}_{n}}\)：\({{a}_{1}},\,\ {{a}_{2}},\,\ \cdots ,\,\ {{a}_{n}}\,(n\geqslant 4)\)满足：\({{a}_{1}}=1\)，\({{a}_{n}}=m\)，\({{a}_{k+1}}-{{a}_{k}}=0\)或\(1(\,k=1,\,\ 2,\,\ \cdots ,\,\ n-1\,)\)．对任意\(i,j\)，都存在\(s,t\)，使得\({{a}_{i}}+{{a}_{j}}={{a}_{s}}+{{a}_{t}}\)，其中\(i,j,s,t\in \{1,2,\cdots ,n\}\)且两两不相等．

\((\)Ⅰ\()\)若\(m=2\)，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；

\(①1,1,1,2,2,2\)； \(②1,1,1,1,2,2,2,2\)； \(③1,1,1,1,1,2,2,2,2\)

\((\)Ⅱ\()\)记\(S={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}.\)若\(m=3\)，证明：\(S\geqslant 20\)；

\((\)Ⅲ\()\)若\(m=2018\)，求\(n\)的最小值．

难度：难

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6．
已知在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+n-1(n∈N*)\)，则其前\(n\)项和\(S_{n}=\)________．

难度：难

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7．
已知数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和\({S}_{n} \)，满足．\({{S}_{n}}=3{{a}_{n}}+{{(-1)}^{n}}(n\in {{N}^{*}})\)

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前三项\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3};\)

\((\)Ⅱ\()\)求证：数列\(\left\{ {{a}_{n}}+\dfrac{2}{5}{{(-1)}^{n}} \right\}\)为等比数列，并求出\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式．

难度：难

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8．
设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(S_{n}=n^{2}+n\)，数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式为\(b_{n}=x^{n-1}\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(c_{n}=a_{n}b_{n}\)，数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)．
\(①\)求\(T_{n}\)；
\(②\)若\(x=2\)，求数列\(\{\dfrac{nTn+1-2n}{{{T}_{n+2}}-2}\}\)的最小项的值．

难度：难

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9．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}=t(S_{n}-a_{n}+1)(t\)为常数，且\(t\neq 0\)，\(t\neq 1)\)．
\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}=a_{n}^{2}+S_{n}a_{n}\)，若数列\(\{b_{n}\}\)为等比数列，求\(t\)的值；
\((3)\)在满足条件\((2)\)的情形下，设\(c_{n}=4a_{n}+1\)，数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若不等式\( \dfrac {12k}{4+n-T_{n}}\geqslant 2n-7\)对任意的\(n∈N^{*}\)恒成立，求实数\(k\)的取值范围．

难度：难

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10．

设数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，且满足\(a_{2n+1}=2a_{2n-1}\)，\(a_{2n}=a_{2n-1}+1\)，则数列\(\{a_{n}\}\)的前\(20\)项和\(S_{20}=\)

A．\(1028\)

B．\(1280\)

C．\(2256\)

D．\(2056\)

难度：难

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