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          共50条信息

            • 1．

              在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{{1}}}{+2}{{a}_{2}}+{{2}^{2}}{{a}_{3}}+\cdots +{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}=(n\cdot {{2}^{n}}-{{2}^{n}}+1)\ t\)对任意\(n\in {{N}^{*}}\)成立，其中常数\(t > 0.\)若关于\(n\)的不等式\(\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{4}}}+\dfrac{1}{{{a}_{8}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{{{2}^{n}}}}} > \dfrac{m}{{{a}_{1}}}\)的解集为\(\{n|n\geqslant 4,n\in {{N}^{*}}\}\)，则实数\(m\)的取值范围是                   ．

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            • 2．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，前\(n\)项的和为\(S_{n}\)，且满足\(2a_{n+1}+S_{n}=2(n∈N^{*})\)，则满足\(\dfrac{1\mathrm{\ }001}{1\mathrm{\ }000} < \dfrac{S_{2n}}{S_{n}} < \dfrac{11}{10}\)的\(n\)的最大值为              \(.\) 

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            • 3． 已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，若\(3{{S}_{n}}=2{{a}_{n}}-3n\)，则\({{a}_{2018}}=\)

              A．\({{2}^{2018}}-1\)
              B．\({{3}^{2018}}-6\)
              C．\({{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2018}}-\dfrac{7}{2}\)
              D．\({{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2018}}-\dfrac{10}{3}\) 
              难度：难
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            • 4．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项的和\(S_{n}\)，满足\(\dfrac{3}{2}{{a}_{n}}={{S}_{n}}+2+{{(-1)}^{n}}(n\in {{N}^{*}})\) ．

              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式．

              \((2)\)设\({T}_{n}= \dfrac{1}{{a}_{1}}+ \dfrac{1}{{a}_{2}}+ \dfrac{1}{{a}_{3}}+⋯+ \dfrac{1}{{a}_{n}} \) ，是否存在正整数\(k\)，使得当\(n\geqslant 3\)时，\({{T}_{n}}\in \left( \dfrac{k}{10},\dfrac{k+1}{10} \right)\) 如果存在，求出\(k\)；如果不存在，请说明理由\(.\) 

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            • 5． 数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\( \dfrac {1}{2a_{n+1}}= \dfrac {1}{2a_{n}}+1(n∈N^{*}).\)
              \((\)Ⅰ\()\)求证\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)是等差数列；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(b_{n}=a_{n}⋅a_{n+1}\)，求\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：难
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            • 6．

              在数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{1}}=4,{{a}_{n+1}}-1=3({{a}_{n}}-1)\) ，则数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式\({{a}_{n}}=\) ______．

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            • 7． 若数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}-(-1)^{n}a_{n-1}=n(n\geqslant 2)\)，\(S_{n}\)是\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，则\(S_{40}=\)________．
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            • 8． 若数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(a_{n}+2S_{n}S_{n-1}=0(n\geqslant 2)\)，\(a_{1}= \dfrac{1}{2}\)．
              \((1)\)求证：\(\left\{ \left. \dfrac{1}{S_{n}} \right. \right\}\)成等差数列；

              \((2)\)求数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)的通项公式．

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            • 9．

              单调递增数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，且满足\(4{{S}_{n}}=a_{n}^{2}+4n\)．

              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；    
              \((2)\)令\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}\)，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．
              难度：难
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            • 10． 若数列\(\{a_{n}\}\)满足条件：存在正整数\(k\)，使得\(a_{n+k}+a_{n-k}=2a_{n}\)对一切\(n∈N^{*}\)，\(n > k\)都成立，则称数列\(\{a_{n}\}\)为\(k\)级等差数列．
              \((1)\)已知数列\(\{a_{n}\}\)为\(2\)级等差数列，且前四项分别为\(2\)，\(0\)，\(4\)，\(3\)，求\(a_{8}+a_{9}\)的值；
              \((2)\)若\(a_{n}=2n+\sin ωn(ω\)为常数\()\)，且\(\{a_{n}\}\)是\(3\)级等差数列，求\(ω\)所有可能值的集合，并求\(ω\)取最小正值时数列\(\{a_{n}\}\)的前\(3n\)项和\(S_{3n}\)；
              \((3)\)若\(\{a_{n}\}\)既是\(2\)级等差数列\(\{a_{n}\}\)，也是\(3\)级等差数列，证明：\(\{a_{n}\}\)是等差数列．
              难度：难
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