已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式为\({a}_{n}={n}^{2}-2λn+1\left(n∈{N}^{*}\right) \)，且数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)为递增数列”，则\(\lambda \)的取值范围是_______________．

已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，点\(\left( n,{{S}_{n}} \right)\)在函数\(f(x)={{x}^{2}}-2kx(k\in N)\)图象上，当且仅当\(n=4\)时，\({{S}_{n}}\)的值最小．

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)令\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}+9}{2}\)，数列\(\{{{b}_{n}}\}\)满足\({{b}_{n}}=\dfrac{{{2}^{{{c}_{n}}}}}{({{2}^{{{c}_{n}}}}-1)({{2}^{{{c}_{n+1}}}}-1)}\)，记数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{T}_{n}}\)，若\(2{{m}^{2}}-3m+\dfrac{5}{3}-{{T}_{n}}\leqslant 0\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．

若正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，首项\(a_{1}=1\)，\(P\left( \sqrt{{{S}_{n}}},{{S}_{n+1}} \right)\)点在曲线\(y=(x+1)^{2}\)上\(.\)

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{v}}\cdot {{a}_{n+1}}}\)，\(T_{n}\)表示数列\(\{b_{n}\}\)的\(n\)项和，若\(T_{n}\geqslant a\)恒成立，求\(T_{n}\)及实数\(a\)的取值范围．

定义：称\( \dfrac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+⋯{P}_{n}} \)为\(n\)个正数\(p_{1}\)，\(p_{2}\)，\(…\)，\(p_{n}\)的“均倒数”，若数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项的“均倒数”为\( \dfrac{1}{2n+1} \)，则数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式为     ．

已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a\)，公差为\(b\)；等比数列\(\{b_{n}\}\)的首项为\(b\)，公比为\(a\)，其中\(a\)，\(b\)均为正整数，且\(a_{1} < b_{1} < a_{2} < b_{2} < a_{3}\)．

\((I)\)求\(a\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)若对于\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)，存在\(m\)，\(n∈N^{*}\)，满足\(a_{m}+1=b_{n}\)，求\(b\)的值；

\((\)Ⅲ\()\)对于满足\((\)Ⅱ\()\)的数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)，令\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}-8}{{{b}_{n}}}\)，求数列\(\{c_{n}\}\)的最大项．