知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．

已知数列$\{a_{n}\}$是递增数列，且对任意$n∈N^{*}$都有$a_{n}=n^{2}+bn$成立，则实数$b$的取值范围$($ $)$

A．$(-\dfrac{7}{2},+\infty )$

B．$(0,+∞)$

C．$(-2,+∞)$

D．$(-3,+∞)$

难度：难

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2．已知数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且${{a}_{1}}=2$，对任意$n\geqslant 2,n\in {{N}^{*}}$，点$\left({a}_{n},{S}_{n-1}\right) $都在函数$f(x)=x-2$的图象上．
$(1)$求数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的通项公式；

$(2)$设${{b}_{n}}=\dfrac{2}{{{\log }_{2}}{{a}_{4n-3}}{{\log }_{2}}{{a}_{4n+1}}}$，${{T}_{n}}$是数列$\left\{ {{b}_{n}} \right\}$的前$n$项和，是否存在最大的正整数$k$，使得对于任意的正整数$n$，有${{T}_{n}} > \dfrac{k}{20}$恒成立？若存在，求出$k$的值；若不存在，说明理由．

难度：难

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3．
函数$f\left( x \right)=\dfrac{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}{x+1}\left( x > 0 \right)$的图象上有一点列${{P}_{n}}\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)(n{∈}N_{{+}})$，点${{P}_{n}}$在$x$轴上的射影是${{Q}_{n}}\left( {{x}_{n}},0 \right)$，且${{x}_{n}}=3{{x}_{n-1}}+2$$($$n{\geqslant }2$且$n{∈}N$$)$，${{x}_{1}}=2$．

$(1)$求出数列$\left\{ {{x}_{n}} \right\}$的通项公式；

$(2)$对任意的正整数$n$，当$m{∈}{[}{-}1{,}1{]}$时，不等式$3{{t}^{2}}-6mt+\dfrac{1}{3} > {{y}_{n}}$恒成立，求实数$t$的取值范围；

$(3)$设四边形${{P}_{n}}{{Q}_{n}}{{Q}_{n+1}}{{P}_{n+1}}$的面积是${{S}_{n}}$，求证：$\dfrac{1}{S_{1}}{+}\dfrac{1}{{2S}_{2}}{+}{…}{+}\dfrac{1}{{nS}_{n}}{ < }\dfrac{5}{4}$．

难度：难

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4．数列{a_n}满足a₁=2， $a_%7Bn%2B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2%5E%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%7D%7D%7B%28n%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29a_%7Bn%7D%2B2%5E%7Bn%7D%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．
（1）设 $b_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2%5E%7Bn%7D%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设 $c_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，数列{c_n}的前n项和为S_n，求出S_n并由此证明： $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B16%7D%E2%89%A4S_%7Bn%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．

难度：难

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5．已知数列满足 $S_%7Bn%7D%3D2n%5E%7B2%7D-n%2B1$ ，则通项公式a_n= ______ ．

难度：难

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6．数列- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ， $-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B8%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B16%7D$ ，…的一个通项公式可能是（　　）

A． $%28-1%29%5E%7Bn-1%7D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2n%7D$

B． $%28-1%29%5E%7Bn-1%7D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D$

C． $%28-1%29%5E%7Bn%7D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2n%7D$

D． $%28-1%29%5E%7Bn%7D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D$

难度：难

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7．

设数列$\{a_{n}\}$是集合$\{3^{s}+3^{t}|0\leqslant s < t$，且$s$，$t∈Z\}$中所有的数从小到大排列成的数列，即$a_{1}=4$，$a_{2}=10$，$a_{3}=12$，$a_{4}=28$，$a_{5}=30$，$a_{6}=36$，$…$，将数列$\{a_{n}\}$中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图等腰直角三角形数表，$a_{200}$的值为$($　　$)$

A．$3^{9}+3^{19}$

B．$3^{10}+3^{19}$

C．$3^{19}+3^{20}$

D．$3^{10}+3^{20}$

难度：难

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8．
已知函数$f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}(x > 0)$，数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$满足${{a}_{1}}=f(x)$，${{a}_{n+1}}=f({{a}_{n}})$

$($Ⅰ$)$求${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，${{a}_{4}}$；

$($Ⅱ$)$猜想数列$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$的通项，并予以证明。

难度：难

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9．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²-2n+1，则通项公式a_n= ______ ．

难度：难

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10．已知数列{a_n}，其通项公式a_n=3n-18，则其前n项和S_n取最小值时n的值为（　　）

A．4

B．5或6

C．6

D．5

难度：难

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